¿Expresión correcta para los diferenciales de crédito compuestos semestralmente?

Question

Estoy familiarizado con la expresión para un diferencial de crédito (continuamente compuesto) de la forma $$c(t,T) = -\frac{1}{T-t} \ln \frac{v(t,T)}{p(t,T)},$$ donde $p(t,T)$ denota el tiempo $t$ precio de un $T$ -de bonos libres de impago, y $v(t,T)$ denota el tiempo $t$ precio de un $T$ -Valor de vencimiento incumplible. Utilizando algunas hipótesis estándar de los modelos de riesgo de crédito (que el tiempo de impago $\tau$ es independiente de la tasa corta $r_t$ proceso para que el $v(t,T)=p(t,T)\left( \delta +(1\color{red}{-}\delta) \mathbb{Q}(\tau > T)\right)$ ), la dispersión puede escribirse como $$c(t,T) = - \frac{1}{T-t} \ln \left( \delta +(1\color{red}{-}\delta) \mathbb{Q}(\tau > T)\right),$$ donde $\delta$ es la tasa de recuperación y $\mathbb{Q}(\tau > T)$ la probabilidad neutral de riesgo de supervivencia del emisor del bono incumplible.

He encontrado la siguiente expresión para el diferencial "compuesto semestralmente", dada por $$c(t,T)=2\left[ (\delta +(1-\delta))\mathbb{Q}(\tau > T)) ^{\color{red}{-}\frac{1}{2T}}-1 \right].$$

No entiendo cómo se deriva esta expresión, ¿podría alguien explicármelo? Tal y como yo lo veo, el diferencial compuesto semestral debería ser igual a la diferencia $y_v-y_p$ donde los rendimientos son $y_v$ y $y_p$ se dan implícitamente a través de: $$p(t,T)\left( 1+\frac{y_p}{2} \right)^{2T}=1,$$ y $$v(t,T)\left( 1+\frac{y_v}{2} \right)^{2T}=1.$$ En ese caso, la dispersión no debería ser igual a: $$c(t,T)= 2 \left[ p(t,T)^{-\frac{1}{2T}} \left( 1- \left( \delta +(1+\delta) \mathbb{Q}(\tau > T)\right)^{-\frac{1}{2T}} \right) \right] ?$$

Aprecio cualquier idea al respecto, muchas gracias.

Answer 1

Todo depende de cómo se defina el diferencial. En el caso de la composición continua, se puede definir el diferencial $c(t, T)$ mediante la fórmula $$\begin{align*} v(t, T) = e^{-c(t, T) (T-t)} p(t, T). \end{align*}$$ Mientras que, en el caso de la capitalización semestral, mediante la fórmula $$\begin{align*} v(t, T) = \left(1+\frac{c(t, T)}{2}\right)^{-2 (T-t)} p(t, T). \end{align*}$$