¿Cómo derivar una relación general entre la regla de Ramsey-Keynes y la ley del movimiento del capital?

Question

Consideremos un modelo de agente representativo en el que el agente representativo tiene preferencias estándar

$\int^{\infty}_te^{-\rho t}ln(c(t))dt$

donde $\rho>0$ y $c(t)$ es el consumo en el periodo t, como siempre. Y la tecnología de producción es algo de la forma

$y(t) = z(t)f(k(t))$

Por ejemplo, para simplificar las cosas tomo $f(k(t)) =k(t)$ . Por supuesto, tome $z_t = z^*$ en períodos pares y $z_t= z^{**}$ para los periodos impares y además se supone que $z^{*}-\rho >0$ y $z^{**}-\rho<0$ y $0\% (\delta= 0)$ la depreciación para una mayor simplificación.

Quiero resolver la asignación óptima de los planificadores y demostrar que el stock de capital, la producción y el consumo aumentan en los períodos pares y disminuyen en los impares. Claramente las suposiciones y simplificaciones están hechas con un ejemplo en mente, pero conozco las directrices de la comunidad de tal manera que no estoy pidiendo la respuesta específica a esta pregunta. Sin embargo, estoy pidiendo una estrategia general de cómo proceder de la ecuación de Euler a la ley de movimiento del capital. Para decirlo más claramente, permítanme demostrarlo:

Claramente $\dot k(t) = z(t) k(t) - c(t)$ . Y de alguna manera necesitamos vincular la ecuación de Euler con esta ley de movimiento para derivar una relación general entre $\frac{\dot k(t)}{k(t)}$ y $\frac{\dot c(t)}{c(t)}$ . Resolver para $\frac{\dot c(t)}{c(t)}$ es fácil ya que podemos establecer el Hamiltoniano de valor actual y obtener el resultado $\frac{\dot c(t)}{c(t)} = z(t) - \rho$ . Esto da la relación entre $z(t)-\rho$ y $\frac{\dot c(t)}{c(t)}$ por lo que podemos introducir la suposición dada por la pregunta para derivar la relación que $\frac{\dot c(t)}{c(t)}>0$ en períodos pares y $\frac{\dot c(t)}{c(t)}<0$ en los periodos impares. Esto está claro.

Sin embargo, tengo dudas sobre cómo pasar de esta relación a la ley del movimiento del capital. Para ver por qué necesitamos la relación, podemos utilizar la función de producción $f(k(t))$ y diferenciar con respecto al tiempo para ver cómo evoluciona. Así tenemos

$y(t) = z(t)k(t)$ y $\frac{\dot y(t)}{y(t)} = \frac{\dot z(t)}{z(t)} + \frac{\dot k(t)}{k(t)}$

En general $\frac{\dot z(t)}{z(t)}$ será exógena en modelos simples como éste. En el contexto de este modelo viene dado por los supuestos, $ \frac{\dot z(t)}{z(t)}>0$ en períodos pares y $ \frac{\dot z(t)}{z(t)}<0$ para los períodos impares. Entonces tenemos que averiguar cómo $\frac{\dot k(t)}{k(t)}$ evoluciona con $\frac{\dot c(t)}{c(t)}$ . Entonces me quedo atascado porque sólo sabemos que

$\dot k(t) = z(t)k(t) -c(t)$

que hace que

$\frac{\dot k(t)}{k(t)} = z(t) - \frac{c(t)}{k(t)}$ .

Si me dicen que busque el estado estacionario, entonces sé dónde buscar, puedo usar $\frac{\dot k(t)}{k(t)}=0$ y proceder. Pero la cuestión es más general. ¿Cómo se debe proceder en cuestiones como ésta en las que no nos preocupa el estado estacionario?

Answer 1

Bueno, en realidad se puede resolver $k$ analíticamente. Se trata de una técnica estándar de EDO lineal de primer orden.

La solución de la ecuación diferencial $ \dot{c}(t) / c(t) = z(t) - \rho $ es

$$ c(t) = c_0 \exp\left( \int_0^t z(s) ds - \rho t \right) $$

Si se introduce esto en $ \dot{k}(t) - z(t)k(t) = - c(t) $ multiplicando ambos lados por $ \exp\left( -\int_0^t z(s) ds \right) $ y utilizando la regla del producto, obtenemos

$$ \frac{d}{dt} \left[ k(t) \exp\left( -\int_0^t z(s) ds \right) \right] = -c_0 e^{-\rho t} $$

La solución es

$$ k(t) = \left[ k_0 + \frac{c_0}{\rho} (e^{-\rho t} - 1) \right] \exp\left( \int_0^t z(s) ds \right) $$

Lo que queda es resolver para $c_0$ . Esta es realmente la parte más complicada del ejercicio. En primer lugar, hay que tener en cuenta que el estado estacionario $(c^*, k^*)$ satisface $ c^* = \rho k^* $ . A continuación, la condición de transversalidad nos da $ (c(t), k(t)) \to (c^*, k^*) $ Así que

$$ \begin{align} c^* &= c_0 \zeta \\ k^* &= \left( k_0 - \frac{c_0}{\rho} \right) \exp\left( \int_0^\infty z(t) dt \right) + \frac{c_0}{\rho} \zeta \\ \text{where} \quad \zeta &= \lim_{t \to \infty} \exp\left( \int_0^t z(s) ds - \rho t \right) \end{align} $$

Por último, introduciendo lo anterior en $ c^* = \rho k^* $ y restando $c_0 \zeta$ de ambos lados, obtenemos $ c_0 = \rho k_0 $ . Por lo tanto, tenemos una buena forma cerrada para $k$ :

$$ k(t) = k_0 \exp\left( \int_0^t z(s) ds - \rho t \right) $$