¿Por qué se supone que la derivada de una transformación monótona de una función de utilidad es siempre mayor que 0?

Question

Estoy estudiando las funciones de utilidad y su relación con las curvas de indiferencia.

Ahora bien, entiendo que una transformación monótona positiva no cambia el orden (es una transformación que preserva el rango).

Pensé que lo mismo es cierto para una transformación monotónica negativa (estoy leyendo a H. Varian, él distingue entre transformaciones monotónicas negativas y positivas) excepto que invierte el orden.

Sin embargo, en un artículo que he leído recientemente: https://ocw.mit.edu/courses/economics/14-03-microeconomic-theory-and-public-policy-fall-2016/lecture-notes/MIT14_03F16_lec3.pdf

Dice:

Definición: Transformación monótona Sea I un intervalo en la recta real ( $R1$ ) entonces: $g : I R1$ es una transformación monótona si g es una función estrictamente creciente sobre I. Si $g(x)$ es diferenciable entonces $g'(x) \gt 0\ \forall x$ De manera informal: Una transformación monótona de una variable es una transformación que preserva el rango. [Nota: no todas las transformaciones que preservan el rango son diferenciables].

Pero cómo es eso cierto para una transformación monótona negativa como $g(x) = -x$ donde $g'(x)=-1$ ?

No lo entiendo. ¿El documento no tiene en cuenta que hay transformaciones monotónicas negativas?

Answer 1

Veamos el uso de las transformaciones monotónicas de las funciones de utilidad (que supongo que es la aparición más frecuente de este concepto en economía).

Dejemos que $u: \mathbb{R}^n_+ \to \mathbb{R}$ sea una función de utilidad. Decimos que $g: \mathbb{R}^n_+ \to \mathbb{R}$ es una transformación monótona de $u$ si para todo $x, y \in \mathbb{R}^n_+$ : $$ u(x) \ge u(y) \iff g(x) \ge g(y). $$

Dejemos que $D \subseteq \mathbb{R}$ . Entonces $h: D \to \mathbb{R}$ se llama estrictamente creciente si para todo $x, y \in D$ : $$ x \ge y \iff h(x) \ge h(y). $$

El resultado es el siguiente:

El Dejemos que $D$ sea el rango de $u$ es decir $D = u(\mathbb{R}^n_+)$ . Entonces $g$ es una transformación monótona de $u$ si existe una función estrictamente creciente $h: D \to \mathbb{R}$ tal que $g(x) = h(u(x))$ .

prueba : ( $\leftarrow$ ) Si $g(x) = h(u(x))$ y $u(x) \ge (>) u(y)$ entonces $h(u(x)) \ge (>) h(u(y))$ así que $g$ es efectivamente una transformación monótona de $u$ .

( $\rightarrow$ ) Para la inversa, defina $$ h(z) = g(x) \text{ whenever } u(x) = z. $$ Primero tenemos que comprobar que $h$ es efectivamente una función. Como tal, dejemos que $x, y$ sea tal que $u(x) = u(y) = z$ . Tenemos que demostrar que $g(x) = g(y)$ . De hecho, como $g$ es una transformación monótona, tenemos que $g(x) \ge g(y)$ y $g(y) \ge g(x)$ así que $g(x) = g(y)$ . Para ver que $h$ es estrictamente creciente, y $z \ge (>) w$ y que $x$ y $y$ sea tal que $u(x) = z \ge (>) w = u(y)$ . Entonces, como $g$ es una transformación monótona $h(z) = g(x) \ge (>) g(y) = h(w)$ . $\blacksquare$

Para ver la conexión con las derivadas tenemos lo siguiente:

El si $g: D \to \mathbb{R}$ es diferenciable, $D$ es convexo y si $g'(x) > 0$ para todos $x$ en $D$ entonces $g$ es estrictamente monótona.

prueba : Dejemos que $x \ge (>) y$ entonces por el teorema del valor medio hay un $c \in [x,y]$ tal que: $$ g(y) - g(x) = g'(c)(y - x) \ge (>) 0. $$

Nota: Como dijo @Michael Greinecker, lo contrario no es cierto, hay funciones estrictamente crecientes cuya derivada es cero en algunos puntos, como $g(x) = x^3$ .

¿Pero cómo es eso cierto para una transformación monótona negativa como g(x)=x donde g(x)=1?

En principio, podríamos definir las nociones inversas. Digamos que $\tilde g$ es una transformación monótona "negativa" de $u$ si para todo $x, y \in \mathbb{R}^n_+$ : $$ u(x) \ge u(y) \iff \tilde g(x) \le \tilde g(y). $$

Observe que $\tilde g$ invierte la clasificación dada por $u$ .

A continuación, podemos ver las funciones $\tilde h: D \to \mathbb{R}$ que son estrictamente decrecientes: $$ x \ge y \iff \tilde h(x) \le \tilde h(y). $$

Tenemos lo siguiente:

El La función $\tilde g$ es una transformación monótona negativa de $u$ si existe una función estrictamente decreciente $\tilde h: D \to \mathbb{R}$ tal que $\tilde g(x) = \tilde h(u(x))$ .

La prueba es similar a la del caso monótono/estrictamente creciente.

Observación: En economía, las transformaciones monotónicas "negativas" no se utilizan realmente. Nos gustaría que las funciones $u$ y $g$ para dar la misma clasificación a todos los paquetes $x \in \mathbb{R}^n_+$ entonces deben ser transformaciones monótonas entre sí. Si utilizas una transformación monótona negativa, estás invirtiendo el orden.