Sé que la volatilidad implícita es el valor para el que el modelo de Black Scholes devuelve el precio correcto de la opción. También sé que si trazamos la volatilidad en el gráfico del precio de ejercicio, veremos una "sonrisa". Esto significa que el modelo de Black Scholes es inadecuado para la valoración porque asume una volatilidad constante. Pero, ¿qué significa que otro modelo (por ejemplo, el modelo de Kou) pueda reflejar la sonrisa de la volatilidad? Este modelo también asume una volatilidad constante. ¿Significa que en el modelo Kou el gráfico de la volatilidad implícita es más plano, es decir, que la volatilidad es más constante con respecto al strike y al vencimiento?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Un modelo que refleja la sonrisa de volatilidad es uno con una dinámica que se aproxima a la fijación de precios que produce una sonrisa de volatilidad implícita. Sin embargo, tu pregunta me hace sospechar que estás confuso en algunas de estas piezas, así que vamos a repasar esto con más detalle.
Volatilidades implícitas $\implies$ ¿Precio correcto?
Usted menciona que la volatilidad implícita en el modelo Black-Scholes da el precio "correcto". Eso es un poco atrevido, ya que no conocemos el precio correcto. Podríamos suponer que el precio correcto está determinado únicamente por los precios del mercado o por algún modelo, si crees en las posibles ineficiencias. (Obsérvese que, según el argumento de Grossman-Stiglitz, hay que creer en las ineficiencias durante cortos períodos de tiempo).
Las volatilidades implícitas no son más que las volatilidades que igualan los precios de mercado y los precios Black-Scholes ( es decir implícito en el modelo Black-Scholes).
¿Sonreír o sonreír?
También menciona la volatilidad sonrisa aunque esa forma no es universal. Puerto-1987 en la mayoría de los mercados de renta variable, la "sonrisa" ha sido más Sonrisa : asimétrica con una volatilidad mucho mayor para los precios de ejercicio más bajos. En el caso de las materias primas, la sonrisa es mucho más pronunciada, ya que las volatilidades implícitas son mucho mayor a medida que aumenta el precio de ejercicio.
¿Es el Black-Scholes inapropiado?
¿Suponer una volatilidad constante significa que el modelo Black-Scholes es inapropiado para la valoración? No. El hecho de que los precios de Black-Scholes difieran sistemáticamente de los precios de mercado significa que el modelo es erróneo, pero "todos los modelos son erróneos", como señaló George Box. Sin embargo, el modelo Black-Scholes sigue siendo útil y, por tanto, apropiado.
Por qué Black-Scholes difiere de los precios del mercado
Los modelos Black-Scholes y Merton presuponen un equilibrio parcial (sin interacción entre el comprador y el vendedor en la fijación de los precios) y límites para los rendimientos logarítmicos que convergen a la normalidad. Eso facilita las matemáticas, aunque no coincida con lo que observamos.
Hay tres fuerzas que no están de acuerdo con los supuestos de Black-Scholes:
- Sabemos que la volatilidad no es constante en el tiempo. Esto no suele ser un factor importante, pero ayuda a explicar por qué a veces miramos la volatilidad superficies .
- Y lo que es más importante: creemos que los rendimientos de los activos muestran colas gordas la probabilidad de que se produzcan rendimientos logarítmicos inusuales es mayor de lo que sugiere la normalidad. Esto significa que las opciones out-of-the-money tienen más probabilidades de expirar in-the-money de lo que sugiere Black-Scholes - y por lo tanto valen más que el precio de Black-Scholes. Esto es cierto incluso si adivinamos correctamente la volatilidad del subyacente. El mercado lo entiende y por eso el precio de mercado es más alto. Esto lleva a que las volatilidades implícitas sean mayores para los precios de ejercicio alejados del precio subyacente actual.
- También es crucial: a los inversores les disgustan más las pérdidas que las ganancias. Esto hace que los inversores estén dispuestos a pagar más por la protección contra las pérdidas de lo que pagarían por las ganancias: las opciones de venta son más caras incluso de lo que sugieren las colas gordas.
Si juntamos todo esto, las volatilidades implícitas son más altas lejos del precio actual del subyacente debido a las colas gruesas y a la preferencia de los inversores por evitar pérdidas. Si deducimos estas volatilidades implícitas de las opciones de venta y de compra y las representamos gráficamente según los precios de ejercicio de esas opciones de venta y de compra, obtenemos una curva que, efectivamente, es más alta a medida que nos alejamos de los precios de ejercicio (ATM), es decir el precio actual del subyacente).
¿Qué hace que Black-Scholes sea apropiado?
Lo que hace que el modelo Black-Scholes sea apropiado es el comportamiento regular de esa curva de volatilidad. Un buen modelo puede ajustarse para mejorarlo, y el modelo Black-Scholes nos permite hacer exactamente eso. Podemos utilizar volatilidades implícitas más altas para los precios de ejercicio alejados del ATM para corregir las colas gordas y los inversores que no les gustan las pérdidas más que las ganancias.
¿Cómo puede un modelo reflejar la curva de volatilidad?
Una vez que se entiende todo esto, es fácil ver cómo un modelo puede reflejar mejor la curva de volatilidad: puede permitir una varianza no constante, colas más gruesas y la preferencia de los inversores por reducir el riesgo a la baja.
¿Refleja el modelo Kou la curva de volatilidad? La refleja mejor, porque incorpora los saltos (que efectivamente producen colas más gordas). El modelo de volatilidad de Heston también tiene colas más gruesas y, por tanto, refleja mejor la curva de volatilidad.
¿Se puede hacer algo mejor que estos modelos? Sí: también sería inteligente incorporar una mayor aversión de los inversores a los rendimientos a la baja. Los modelos Exponential-GARCH se adaptan a esto, pero habría que modificar el modelo Kou o Heston para hacerlo.
