Minimización de costes de $f(x) = min(x_1,x_2) + x_3$

Question

Se da la siguiente función de producción,

$f(X) = min\{x_1,x_2\} + x_3$

Aquí hay una solución https://math.stackexchange.com/questions/605925/constrained-maximization-of-leontif-utility-function-minx-1-x-2 que es similar a esta función. Sin embargo, no incluye un aditivo $x_3$ .

Mi intento de solución inicial

Redefinir la función de producción, de manera que

$f(X) = x_1 + x_3$ si $x_2 < x_1$ y $f(x) = x_2 + x_3$ de lo contrario. Esto da el siguiente Lagrangiano;

$L = p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3 - \lambda_1(x_1 +x_3 - Q) - \lambda_2(x_2 + x_3 - Q)$

Con cada $\lambda_i > 0$ ambas restricciones son vinculantes, de manera que,

$Q=x_1+x_3$ y $Q=x_2 + x_3$ y entonces las restricciones se reducen a

$x_1 - x_2 = 0$ lo que implica que $x_1 = x_2$ . Sin embargo, esto contradice las condiciones iniciales que hice sobre la relación entre $x_1$ y $x_2$ y, por tanto, las funciones de producción resultantes.

Estoy atrapado en una pequeña confusión. ¿Cómo debo proceder con este problema?

Answer 1

Aunque no se dice explícitamente en la pregunta, supongo, por la función langrangiana que planteas, que el problema que pretendes resolver es

$$\min_{x_1,x_2,x_3} p_1x_1 + p_2x_2 + p_3x_3 \\[8pt] h(x_1,x_2,x_3) = \min\{x_1,x_2\} + x_3\geq z$$

Esta tarea combina complementos perfectos en la producción $f(x_1,x_2) = \min \{x_1,x_2\}$ con sustitutos perfectos $g(y_1,y_2) = y_1 + y_2$ .

A veces, un enfoque consiste en resolver los problemas en dos etapas. Intuitivamente, con $y_1:=\min\{x_1,x_2\}$ la empresa producirá $y_1$ al coste unitario $p_{y_1} = p_1+p_2$ para cualquier nivel de $y_1$ se produce, nunca se puede minimizar el coste de utilizar más de $x_1$ que $x_2$ o al revés. De ahí que $x_1=x_2 = \min\{x_1,x_2\} = y_1$ y el coste separado de cada unidad de $y_1$ es por lo tanto $p_1+p_2$ .

A continuación, resuelva la minimización de costes con la producción

$$g(y_1,y_2) = y_1 + y_2 = y_1 + x_3 = z$$

con los precios de los insumos $p_{y_1}$ y $p_{3}$ . Dado que los factores $y_1$ y $x_3$ son igualmente productivos (productividad marginal igual y constante) la producción se realizará con el factor más barato por lo que el coste debe ser $C(z,p) =\min\{p_{y_1},p_3\}z = \min\{p_1+p_2,p_3\}z$ .

Evito utilizar el método del multiplicador de Lagrang porque la función de producción no es diferenciable.