Prueba de Martingala: Los precios de compra deben ser crecientes en la madurez

Question

He observado que el IV aumenta con el tiempo hasta el vencimiento utilizando los precios de mercado y trazando el IV (de Black-Scholes) contra el logaritmo del dinero, $\log(S_t/K)$ . $S_t$ siendo el precio de la acción en el momento $t$ y $K$ siendo la huelga.

Usando Martingales podemos demostrar que la función de pago de la opción de compra - es decir $\max(S_t-K, 0)$ - es un submartingale bajo la $Q$ -medida. Ahora este artículo de Columbia dice que el precio de compra en función del tiempo hasta el vencimiento, es decir $C_t(T)$ debe ser no decreciente para evitar el arbitraje, lo que puede demostrarse utilizando los resultados estándar de la martingala, pero ¿por qué?

¿Cuáles son los cálculos realizados por los "resultados estándar de Martinale" que implican que si el precio de compra fuera decreciente en función de $T$ entonces habría un arbitraje?

Aquí se destaca el argumento que no entiendo:

Answer 1

Para $r=q=0$ y $t\leq T'\leq T$ :

$$ C_t(T)=E_{t}[(S_T -K)^+] = E_{t}[E_{T'}[(S_T -K)^+] \geq E_t[(S_{T'} -K)^+]=C_t(T'),$$

donde utilizamos la propiedad de la torre de la expectativa condicional y la sub-martingalidad de $(S_{T'}-K)^+$ que mencionaron (que es una consecuencia de la desigualdad de Jensen para la expectativa condicional).

Un spread de calendario (una call larga con vencimiento $T$ y una llamada a corto plazo con vencimiento $T'$ ) con precio negativo violaría la desigualdad anterior.