Estado estacionario no trivial

Question

Consideremos el modelo de crecimiento con oferta de trabajo inelástica, depreciación completa, utilidad logarítmica y tecnología CRS con la ecuación de Bellman definida como sigue: $$V(k)=\max(log(k^\alpha-k')+\beta V(k'))$$ $$k\geq0\ \text{and}\ \theta k^\alpha-k'\geq0$$

Como suposición he utilizado el habitual $V(k)=a+bln(k)$ sustituido en el Bellman y han derivado $k'=\frac{k^\alpha\beta b}{1+\beta b}$ . A partir de esto he encontrado el $k_{ss}=(\frac{1+\beta b}{\beta b})^{1/(\alpha-1)}$ llamado el SS no trivial

Esta es la primera SS mientras que la otra es $k_{ss}=0$

Mi pregunta es cómo podemos utilizar la función política para demostrar que el sistema converge al estado estacionario no trivial dado cualquier $k_0 > 0$

Answer 1

Supongamos que la función de valor es de la forma $a + b \ln(k)$ .

Entonces, sustituyendo por $V(k) = a + b \ln(k)$ en la ecuación de Bellman da: $$ a + b \ln(k) = \max_{k'}\left(\ln(k^\alpha - k') + \beta(a + b \ln(k')\right) $$ La condición de primer orden viene dada por: $$ \begin{align*} &\frac{-1}{k^\alpha - k'} + \beta b \frac{1}{k'} = 0,\\ \to & k' = \beta b (k^\alpha - k'),\\ \to & k' = \frac{\beta b}{1+ \beta b} k^\alpha \end{align*} $$ Si introducimos esto en la función objetivo de la ecuación de Bellman, obtenemos la siguiente identidad: $$ \begin{align*} a + b \ln(k) &= \ln\left(k^\alpha - \frac{\beta b}{1 + \beta b}k^\alpha\right) + \beta\left(a + b \ln\left(\frac{\beta b}{1 + \beta b}k^\alpha\right)\right),\\ &= (\alpha + \beta b \alpha) \ln(k) + \ln\left(1 - \frac{\beta b}{1 + \beta b}\right) + \beta a + \beta b \ln\left(\frac{\beta b}{1 + \beta b}\right) \end{align*} $$ Como esto es válido para todos los $k (> 0)$ podemos igualar los coeficientes de ambos lados: $$ \begin{align*} a &= \ln\left(\frac{1}{1 + \beta b}\right) + \beta a + \beta b \ln\left(\frac{\beta b}{1 + \beta b}\right),\\ b & = \alpha + \beta b \alpha \end{align*} $$ La segunda da una expresión de forma cerrada para $b$ : $$ b = \frac{\alpha}{1 - \beta \alpha}. $$ Entonces sustituyendo esto en la condición de primer orden se obtiene: $$ \begin{align*} k_{t+1} &= \frac{\beta \frac{\alpha}{1 - \beta \alpha}}{1 + \beta \frac{\alpha}{1 - \beta \alpha}}k_t^\alpha,\\ &= \beta \alpha k^\alpha_t \tag{1} \end{align*} $$

Esto demuestra que: $$ k_{t + 1} > k_t \iff \beta \alpha k_t^\alpha > k_t \iff k_t < (\beta \alpha)^{\frac{1}{1 - \alpha}} $$ Por lo tanto, el stock de capital aumentará siempre que $k_t$ está por debajo de $(\beta \alpha)^{\frac{1}{1 - \alpha}}$ y disminuirá si $k_t$ está por encima de este umbral.

Según la ecuación dinámica (1) anterior, parece que $k = 0$ es también un estado estacionario. Sin embargo, para $k = 0$ las condiciones de primer orden no se satisfacen y, de hecho, la función de valor no existe. En cualquier caso, para $k_t$ muy cerca, su valor estará por debajo de $(\beta \alpha)^{\frac{1}{1 - \alpha}}$ por lo que el stock de capital debería aumentar hasta el estado estacionario único.