¿Cómo puedo demostrar que la solución de la SDE de Heston es un proceso de Markov?

Question

Consideremos el modelo de Heston expresado como $$\begin{align} dS_t &= \mu S_t dt + S_t \sqrt{V_t} \big(\rho dW_t^{(1)}+\sqrt{1-\rho^2}dW_t^{(2)} \big); \tag*{(1)} \\ dV_t &= \kappa(\theta - V_t)dt + \sigma \sqrt{V_t}dW_t^{(1)}, \tag*{(2)} \end{align}$$ donde $(W^{(1)},W^{(2)})$ es un movimiento browniano estándar bidimensional (bajo la medida de probabilidad $P$ ) y $\mu, \rho, \kappa, \theta$ y $\sigma$ son constantes. Suponemos que se cumple la condición de Feller, es decir $$2 \kappa \theta > \sigma^2,$$ que garantiza que $V_t >0.$

En el libro de Shreve, leí que la solución $(S_t,V_t)_{0 \leq t \leq T}$ a la SDE bidimensional anterior es un proceso de Markov, pero no lo demuestra. Ya he consultado un par de libros y sólo he encontrado una condición suficiente, que requiere que los coeficientes (funciones de deriva y difusión) satisfagan las condiciones de Lipschitz y de crecimiento lineal. Este no es el caso de esta EDE, así que no sé cómo proceder. ¿Alguna idea?

Editar: Veo en los comentarios que se pide la definición de un proceso de Markov. Cualquier definición está bien siempre que pueda obtener una prueba rigurosa. Por ejemplo:

La solución $(X_t,V_t)_{0 \leq t \leq T}$ de la SDE anterior es un proceso de Markov si para cualquier función acotada y medible de Borel $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ y para todos $0 \leq s \leq t \leq \infty,$ tenemos $$E[f(X_t,V_t) | \mathscr{F}_s]=[E[f(X_t,V_t) |(X_s,V_s) ],$$ o también podríamos utilizar la función de probabilidad de transición del proceso de Markov.

Answer 1

No estoy proporcionando una prueba completa, sino una referencia para que puedas leer los detalles. El paso clave se menciona a continuación.

La mayoría de los modelos utilizados en finanzas son markovianos, lo que coincide con la hipótesis del mercado eficiente. El paso clave para ver que el proceso de Heston es markoviano es el siguiente teorema.

Dejemos que $f$ sea una función acotada de Borel de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$ . Entonces para $t,h>0$ , $$\mathbb{E}^x[f(X_{t+h})\mid\mathcal{F}_t^{(m)}](\omega)=\mathbb{E}^{X_t(\omega)}[f(X_h)],$$ donde $\mathcal{F}_t^{(m)}$ es el $\sigma$ -generada por $\{B_s;s\leq t\}$ .

La afirmación anterior procede de Øksendal (2003, Teorema 7.1.2), un gran recurso sobre las EDE. En su entorno, $X_t$ es la solución de una SDE. Shreve (2004, Teorema 6.3.1) cubre esencialmente el mismo teorema. Øksendal da una prueba, Shreve se limita a esbozarla pero destaca la intuición. Este último sigue con el corolario

Las soluciones de las ecuaciones diferenciales estocásticas son procesos de Markov de Markov.

Como ves, este corolario te ayuda a ver que muchísimos modelos en finanzas son efectivamente markovianos.

Answer 2

Un proceso estocástico con incrementos independientes es un proceso de Markov. la prueba está disponible en el siguiente documento: (Lemma 1.1)
http://statweb.stanford.edu/~adembo/math-136/Markov_note.pdf

Answer 3

En este documento (extremadamente técnico) de Duffie y otros se demuestra que un proceso de Markov es infinitamente descomponible si y sólo si es un proceso afín regular. Así que sus resultados establecen una correspondencia entre los procesos de Markov y los procesos regulares afines.

Vale, eso (el artículo) es demasiado técnico para mí, pero si miro la función característica del modelo de Heston (y otras difusiones afines (de salto)) veo que depende de $S_t$ y $V_t$ sólo, lo que me parece un proceso de Markov.

Aunque esto no sea una respuesta completa a su pregunta, creo que le indicará la dirección correcta si realmente quiere entrar en la maleza.