Consideremos el modelo de Heston expresado como \begin{align} dS_t &= \mu S_t dt + S_t \sqrt{V_t} \big(\rho dW_t^{(1)}+\sqrt{1-\rho^2}dW_t^{(2)} \big); \tag*{(1)} \\ dV_t &= \kappa(\theta - V_t)dt + \sigma \sqrt{V_t}dW_t^{(1)}, \tag*{(2)} \end{align} donde $(W^{(1)},W^{(2)})$ es un movimiento browniano estándar bidimensional (bajo la medida de probabilidad $P$ ) y $\mu, \rho, \kappa, \theta$ y $\sigma$ son constantes. Suponemos que se cumple la condición de Feller, es decir $$2 \kappa \theta > \sigma^2,$$ que garantiza que $V_t >0.$
En el libro de Shreve, leí que la solución $(S_t,V_t)_{0 \leq t \leq T}$ a la SDE bidimensional anterior es un proceso de Markov, pero no lo demuestra. Ya he consultado un par de libros y sólo he encontrado una condición suficiente, que requiere que los coeficientes (funciones de deriva y difusión) satisfagan las condiciones de Lipschitz y de crecimiento lineal. Este no es el caso de esta EDE, así que no sé cómo proceder. ¿Alguna idea?
Editar: Veo en los comentarios que se pide la definición de un proceso de Markov. Cualquier definición está bien siempre que pueda obtener una prueba rigurosa. Por ejemplo:
La solución $(X_t,V_t)_{0 \leq t \leq T}$ de la SDE anterior es un proceso de Markov si para cualquier función acotada y medible de Borel $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ y para todos $0 \leq s \leq t \leq \infty,$ tenemos $$E[f(X_t,V_t) | \mathscr{F}_s]=[E[f(X_t,V_t) |(X_s,V_s) ],$$ o también podríamos utilizar la función de probabilidad de transición del proceso de Markov.
