Pregunta sobre el proceso de precios libres de arbitraje en la Teoría del Arbitraje en Tiempo Continuo de Bjork

Question

Actualmente estoy trabajando en las preguntas de la Teoría del Arbitraje en Tiempo Continuo de Bjork. Sin embargo, no puedo resolver la siguiente pregunta, la 7.2 del libro. Una solución sería muy apreciada.

Consideremos el modelo de Black Scholes. Una empresa ha producido el derivado el Logaritmo de Oro, en adelante abreviado como GL. El tenedor del LG con tiempo de vencimiento T, denotado como GL(T), obtendrá, en el tiempo T, la suma lnS(T). Nótese que si S(T)<1 significa que el tenedor tiene que pagar una cantidad positiva a la empresa. Determine el proceso de precio libre de arbitraje para el GL(T)

Answer 1

En general, el proceso de precios sin arbitraje $V_t$ en el momento $0 \le t \le T$ para una reclamación europea $X =f(S_T)$ bajo el modelo B-S (que parece que tienes) viene dado por

$$V_t(X) = B_t\mathbb{E}_\mathbb{Q}[B_T^{-1}X | \mathcal{F}_t],$$

donde $B_t$ es el proceso del precio de los bonos, $\mathbb{Q}$ es la medida que hace que el proceso del precio de las acciones B-S descontado sea a $\mathbb{Q}$ -martingale, y $\mathcal{F}_t$ es el campo sigma del movimiento browniano. Este podría ser el "proceso" que pide la pregunta, pero habría que evaluar esta expectativa en cada $t$ para usarlo realmente.

He aquí un ejemplo de cálculo del valor inicial utilizando un pago arbitrario al vencimiento, $X = f(S_T)$ Así que todo lo que tienes que hacer es reemplazar el $f$ con su logaritmo de pago.

Supongo que estás familiarizado con el proceso de precios de las acciones B-S bajo el movimiento browniano neutral al riesgo, $S_t = S_0\exp(\sigma \widetilde{W}_t + (r - \frac{1}{2}\sigma^2)t)$ , donde $\widetilde{W}_t$ es un $\mathcal{N}(0, t)$ -distribuida para una variable aleatoria fija $t$ bajo la $\mathbb{Q}$ medida, $r$ es el tipo sin riesgo y $\sigma$ la volatilidad. Nótese que el argumento de la función exponencial es un $\mathcal{N}((r - \frac{1}{2}\sigma^2)t, \sigma^2 t)$ -distribuida para una variable aleatoria fija $t$ .

Definir la variable aleatoria $Y$ ~ $\mathcal{N}(-\frac{1}{2}\sigma^2 T, \sigma^2 T)$ . Entonces $S_T = S_0\exp(Y + rT)$ y dejar que $p(Y)$ denotan el pdf de $Y$ a partir de la fórmula de $V_t$ tenemos

$$V_0 = \mathbb{E}_\mathbb{Q}[\mathrm{e}^{-rT}f(S_0\exp(Y + rT))] \\ = \mathrm{e}^{-rT} \int_{-\infty}^\infty f(S_0\exp(y + rT))p(y)\mathrm{d}y \\ = \mathrm{e}^{-rT} \int_{-\infty}^\infty f(S_0\exp(y + rT))\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 T}}\exp\left(\frac{-(y + \frac{1}{2}\sigma^2T)^2}{2 \sigma^2 T}\right)\mathrm{d}y.$$

Answer 2

Yo también estoy haciendo el mismo ejercicio. Deja que $GL(t,s)$ denotan el valor del Logaritmo de Oro en el momento $t$ cuando la acción subyacente tiene precio $s$ .

Como en la respuesta de bcf, el modelo Black-Scholes da: $$ GL(t,s) = e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^Q[GL(T)]=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^Q[\log S(T)], $$ con la expectativa tomada sobre la medida libre de riesgo.

El proceso estocástico subyacente al modelo Black-Scholes es: $$ \begin{align} dS &= rSdt + \sigma SdW \\ S(t) &= s \end{align}, $$ por lo que el proceso estocástico para el logaritmo áureo es: $$ \begin{align} d(GL)&=\left(r-\frac12 \sigma^2\right)dt + \sigma dW \\ GL(t)&=\log s \end{align}. $$ Este proceso puede integrarse inmediatamente a: $$ GL(T) - \log s = \left(r-\frac12\sigma^2\right)(T-t) + \sigma\left(W(T)-W(t)\right). $$ Sustituyendo esto en la expectativa anterior, tenemos $$ GL(t,s) = e^{-r(T-t)}\int_{-\infty}^\infty \left[\log s + \left(r-\frac12 \sigma^2\right)(T-t) + z\right] f(z) dz, $$ donde $f(z)$ es la densidad normal con media 0 y varianza $\sigma^2(T-t)$ . De esta expresión podemos concluir inmediatamente: $$ GL(t,s) = e^{-r(T-t)}\left[\log s + \left(r-\frac12\sigma^2\right)(T-t)\right]. $$ Espero que esto sea correcto, pero no estoy seguro ya que también estoy aprendiendo estas cosas.