¿Cuál es la diferencia entre la volatilidad logarítmica y la volatilidad simple en un GBM?

Question

¿Qué diferencia suponen? ¿Por qué muchas personas parecen encontrar simulaciones más precisas con la volatilidad del logaritmo?

La volatilidad estándar en GBM se define como $\sigma = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)$ donde $x_i$ es la tasa de rendimiento y $\mu$ es la media de la tasa de rendimiento, también llamada deriva. La volatilidad logarítmica, por otro lado, se define de la siguiente manera, leí que alguien la utilizó en un trabajo de investigación y demostró que producía menos errores de previsión. Me pregunto por qué. Volatilidad logarítmica $\sigma = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(logS_{ti}- logS_{ti-1})$ donde $(logS_{ti}$ Es el precio del activo en el momento $t$ .

Además, no soy capaz de encontrar esto en ningún libro...

Answer 1

En su forma más simple, la diferencia es el "arrastre de la varianza", es decir, cómo la propia volatilidad afecta a su mu anterior.

Imagine una serie de rendimientos aleatorios de +50% frente a -50% con una probabilidad del 50% de cada uno. Evidentemente, esto tendrá un mu de cero, y un sigma de 0,5.

Pero si los precios se reducen a la mitad y se revalorizan un 50% con la misma probabilidad, es evidente que disminuirán con el tiempo. El verdadero "Mu" no es realmente cero. Por tanto, las estimaciones de la volatilidad lineal están sesgadas.

En todos los supuestos convencionales de normalidad, la diferencia entre las dos mu será la mitad de la varianza (lineal/convencional). Por lo tanto, si la mu y la sigma lineales son, por ejemplo, del 0% y del 10% respectivamente, entonces debería esperar que el activo se deprecie 50 puntos básicos al año. Del mismo modo, si siempre mantuviera una cantidad fija de este activo (y no dejara que su participación en él se compusiera, apreciara o depreciara), entonces este activo de rendimiento cero generaría rendimientos positivos de los mismos 50bps.

Si quieres entender este efecto de forma más intuitiva, imagina que se duplica o se reduce a cero con igual probabilidad (en lugar de +/-50%). ¿Cuáles serían entonces sus expectativas? Una volatilidad más alta (eventualmente) garantiza la ruina del jugador.

Por ello, los participantes en el mercado suelen considerar todo en términos logarítmicos (como en su libro de texto) simplemente para evitar los efectos distorsionadores de ceñirse al enfoque lineal estándar, que se enseña a los estudiantes en los cursos tradicionales de estadística.

En la mayoría de los casos prácticos, el vol. lineal y el vol. logarítmico serán casi idénticos entre sí. La implicación es más normalmente (sin juego de palabras) el diferente impacto de esta volatilidad en las medias lineales (aritméticas) frente a las logarítmicas (geométricas) [¡y los resultados de riqueza resultantes!]