Sí. Acabo de publicar un documento en el que se derivan las distribuciones de los rendimientos de todas las clases de activos y pasivos. No es una distribución o una familia de distribuciones. Las acciones son una mezcla de múltiples distribuciones. Algunas de estas distribuciones tienen estructuras de covarianza, y otras no. Sin embargo, es posible que tenga que hacer un montón de sus propias matemáticas. He estado contemplando la posibilidad de escribir un artículo sobre la apuesta de Kelly, pero no he tenido tiempo. Estoy a punto de presentar un reemplazo sin distribución para el cálculo de Ito que no asume la existencia de primeros o mayores momentos en la Conferencia de la Asociación de Finanzas del Suroeste. Por lo tanto, he estado muy ocupado. Es casi independiente del modelo económico que se utilice. Lo digo porque cubriría un modelo construido en torno a los osos panda si ése fuera el verdadero modelo en la naturaleza pero nadie lo supiera, pero podría no sostenerse si ciertas suposiciones biológicas implícitas dejaran de ser ciertas en el futuro sobre los humanos.
Lo que hay que hacer es tener en cuenta el riesgo de quiebra, el riesgo de fusión en efectivo, el riesgo de fusión por acciones y el riesgo de liquidez, además del riesgo de rentabilidad. Hay distribuciones para cada uno de ellos en el documento. Como una apuesta de Kelly equivale a tener una utilidad logarítmica, mi recomendación es resolverlo como un problema logarítmico.
La dificultad que encontrarás en el documento es que para las acciones no hay un equivalente a una matriz de covarianza. Al añadir dimensiones, no se añaden términos para el parámetro de escala. Si se ignora la liquidez, la limitación del pasivo, la quiebra y las fusiones, los rendimientos de un activo son: $$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r-\mu)^2},$$ pero para dos activos se convierte en $$\frac{1}{2\pi}\frac{\gamma}{(\gamma^2+\sum_{i=1}^2(r_i-\mu_i)^2)^{3/2}}$$ y para tres activos se convierte en $$\frac{1}{\pi^2}\frac{\delta^2}{\sqrt{\delta^3}\left(\delta+\sum_{i=1}^3(r_i-\mu_i)^2\right)^2}.$$
Obsérvese que el parámetro de la escala cambia a medida que se añaden activos, lo que denota que simplemente se cambia el nombre de la variable $(\sigma,\gamma,\delta)$ . Esto es realmente un reto para trabajar debido a la mala forma. Además, no resolví la constante de integración correcta ya que no quería sentarme a resolver las integrales bajo la limitación de la responsabilidad. Es tarde y doy clases por la mañana. Estas suponen hasta rendimientos infinitamente negativos.
También hay una alternativa práctica en este caso, y también debe suponer que no hay correlación. Las inversiones de Graham y Dodd proporcionan la pista. Si se asume una función de utilidad de todo o nada, es decir, que se recibe una utilidad de uno si el rendimiento supera un umbral y un cero en caso contrario, se obtiene una respuesta sencilla.
En primer lugar, calcule la apuesta de Kelly en un binomio, que es trivial, para su umbral de rentabilidad. Eso se convierte en su nivel de asignación. En segundo lugar, a medida que el precio cae, la probabilidad de alcanzar el nivel aumenta y, por tanto, su varianza disminuye. Así que pague lo menos posible por una apuesta. Al reducir el precio, también está exponiendo menos dinero a cada apuesta, por lo que está reduciendo su riesgo de tres maneras, tanto por la reducción de la probabilidad de pérdida, como por la reducción de la varianza y el tamaño de la exposición por unidad de riesgo.
Puede encontrar el documento en
Harris, D.E. (2017) La distribución de los rendimientos. Revista of Mathematical Finance, 7, 769-804 .
El documento se basa en la observación de que preguntas como $\text{var}\left(\frac{S_{t+1}}{S_t}\right)$ se construyen en torno a dos precios de acciones observables. Esto implica que los precios de las acciones y los volúmenes de las acciones son datos, pero los rendimientos son una función de los datos y, por lo tanto, una estadística y no datos en sí mismos.
Dado que el rendimiento es el valor futuro dividido por el valor actual menos uno, se deduce que los rendimientos son una distribución de ratio de los precios futuros divididos por los precios actuales. Bajo suposiciones leves sobre cómo se negocian las acciones y el número de inversores implicados, los precios de las acciones deberían estar distribuidos normalmente en cualquier momento estático. Más concretamente, el libro de órdenes al límite debería serlo. Estas distribuciones no son más que los cocientes de dos distribuciones normales para cada acción. También se ajusta bien a los datos si se hacen ajustes por cosas como la quiebra y demás.
Convirtiendo tu problema en un binomio lo dominas y te pones en la piel de Warren Buffett con una explicación matemática de por qué es así. La desventaja es que ahora hay que leer los informes anuales, ya que hay que reformularlos desde sus valores oficiales a sus valores económicos para que esto funcione. Así, un pasivo fiscal diferido a diez años por 100 millones de dólares debe reducirse a su valor actual, ya que se trata de un préstamo sin intereses del Tesoro, y la diferencia debe añadirse a los fondos propios. Aun así, una vez hecho el análisis, se puede obtener una buena rentabilidad.
También hay que tener en cuenta que estas distribuciones carecen tanto de media como de estadística suficiente. En el mundo real se truncan en el -100%, por lo que no existe ninguna solución no bayesiana para ninguna de ellas que sea insesgada y admisible. No introduzcas tu función en R. No funcionará. Tienes que construir esto desde cero si vas a hacer predicciones. Muy bien, las predicciones bayesianas son de la forma
$$\Pr(\tilde{x}|\mathbf{X})=\int_{\theta\in\Theta}\Pr(\tilde{x}|\theta)\Pr(\theta|\mathbf{X})\mathrm{d}\theta,$$ para poder realizar predicciones que no dependan del valor de los parámetros. Utilice la FCD de $\tilde{x}$ para formar su densidad binomial.
Técnicamente, esto no es del todo correcto porque la forma multiactiva no es independiente. No hay dos rendimientos que puedan ser independientes, incluso si no hay correlación. Aun así, es una heurística razonable.
