Por fin he entendido la idea del ejemplo. Para ilustrarlo en un entorno más general, presentaré una prueba rigurosa:
Dejemos que $x_k$ denotan el salario y $b_k$ el número de personas que ganan $x_k$ o más. Siguiendo la ley de potencia propuesta por Taleb, tenemos:
$x_{k}:=x_02^k$ y $b_k:=b_0\left(\frac{1}{2}\right)^{ka}$ , donde $a\geq1$ y $k\in \mathbb{N}$ .
La suma de todos los ingresos obtenidos viene dada por:
$$ W_0:=\sum\limits_{k=0}^nx_k\left(b_k -b_{k+1}\right)=\sum\limits_{k=0}^nx_02^k\left(b_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{ka}-b_0\left(\frac{1}{2}\right)^{(k+1)a}\right)=\sum\limits_{k=0}^nb_0x_02^{k(1-a)}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^a\right)=\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^a\right)b_0x_0\sum\limits_{k=0}^n2^{k(1-a)}=\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^a\right)\frac{b_0x_0}{1-2^{1-a}}\left(1-2^{n(1-a)}\right). $$ Entonces, la suma de todos los ingresos que obtiene la parte superior $q$ % se representa simplemente con los últimos términos de la suma anterior. Así que la suma comienza en algún índice $k=m$ . Por lo tanto, $$ W_q:=\sum\limits_{k=m}^nx_k\left(b_k -b_{k+1}\right)=\cdots=\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^a\right)\frac{b_0x_0}{1-2^{1-a}}\left(2^{m(1-a)}-2^{n(1-a)}\right). $$ Suponiendo que $a>1$ obtenemos la cuota de la parte superior $q$ % al dividir: $\frac{W_q}{W_0}=\frac{\left(2^{m(1-a)}-2^{n(1-a)}\right)}{1-2^{n(1-a)}}$ . Si $n\to\infty$ , lo que significa que seguimos incrementando el salario y mira cuántas personas lo ganarán conseguimos: $\frac{W_q}{W_0}=2^{m(1-a)}$ (nótese que los términos desaparecen debido a $a>1$ ). Para encontrar el índice correspondiente $m$ simplemente tomamos el logaritmo: $m=\frac{\log_2(q)}{a}$ y conectarlo a $\frac{W_q}{W_0}=2^{m(1-a)}$ . Así que es realmente irrelevante si asumimos la reducción a la mitad o cualquier otro método para reducir las cantidades porque $2$ se anula: $\frac{W_q}{W_0}=2^{\frac{\log_2(q)}{a}(1-a)}=q^{\frac{a-1}{a}}$ .
Ejemplos:
1.) Cuota de la parte superior $1$ % y $a=1.1$ . Esto produce: $\frac{W_{0.01}}{W_0}=0.01^{\frac{1.1-1}{1.1}}\approx0.66$ .
2.) Cuota de la parte superior $1$ % y $a=1.3$ . Esto produce: $\frac{W_{0.01}}{W_0}=0.01^{\frac{1.3-1}{1.3}}\approx0.35$ .
3.) Si $a=1$ entonces la cuota de la parte superior $1$ es $100$ %.
