La sencilla matemática de la agregación de los choques idiosincráticos

Question

Estoy leyendo unos apuntes sobre agentes heterogéneos y el enfoque de Negishi. La pregunta que tengo es un problema matemático muy simple bajo estos antecedentes. El escenario es el siguiente: (omito el contenido irrelevante)

""" La economía está habitada por un continuo de agentes de vida infinita, indexados por $i \in I \equiv[0,1]$ . Denote por $\mu^{i}$ la medida de los agentes $i$ en el conjunto $I$ y normalizar el número total de agentes a uno, $\int_{I} d \mu^{i}=1$ . Los agentes están sujetos a choques de productividad idiosincráticos a las habilidades. Sea $\varepsilon_{t}^{i}$ sea el choque del agente $i$ y supongamos que los choques son iid, con media 1, y definidos sobre el conjunto $E$ .

Utilizando el enfoque de Negishi, podemos encontrar un AR ficticio con utilidad $$\frac{C_{t}^{1-\gamma}-1}{1-\gamma}+\phi \Phi \frac{\left(1-N_{t}\right)^{1-\sigma}-1}{1-\sigma}$$ donde $\Phi=\frac{\left[\int_{I}\left(\alpha^{i}\right)^{\frac{1}{\sigma}}\left(\varepsilon_{t}^{i}\right)^{1-1 / \sigma} d \mu^{i}\right]^{\sigma}}{\left[\int_{I}\left(\alpha^{i}\right)^{\frac{1}{\gamma}} d \mu^{i}\right]^{\gamma}}$ .

En el caso de que no haya heterogeneidad de riqueza inicial $\alpha^{i}=1$ para todos $i$ , $\Phi=\left[\int_{I}\left(\varepsilon_{t}^{i}\right)^{1-1 / \sigma} d \mu^{i}\right]^{\sigma}$ . Supongamos que $\log \varepsilon \sim N\left(-v_{\varepsilon} / 2, v_{\varepsilon}\right)$ entonces $\Phi=\exp \left(\sigma\left(\frac{\sigma-1}{\sigma}\right)\left(\frac{\sigma-1}{\sigma}-1\right) \frac{v_{\varepsilon}}{2}\right)=\exp \left(\frac{1-\sigma}{\sigma} \frac{v_{\varepsilon}}{2}\right)$ que muestra cómo la varianza de los choques afecta al gusto por el ocio del agente representativo ficticio. """

Supongo que la suposición de la distribución logarítmica normal es para simplificar el resultado, pero no entiendo cómo derivar la última ecuación.

Answer 1

La distribución normal con media $\mu$ y la desviación estándar $s$ tiene densidad: $$ f(\delta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}s} \exp(-\frac{1}{2}\left(\frac{\delta - \mu}{s}\right)^2) $$ Ahora, dejemos que $\delta = \ln(\varepsilon)$ Así que..: $$ \varepsilon^{1-1/\sigma} = \exp\left(\delta(1-1/\sigma)\right) $$ Entonces podemos escribir: $$ \begin{align*} &\int \varepsilon^{1-1/\sigma} f(\ln(\varepsilon)) d (\ln \varepsilon),\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sqrt{v}}\int \exp(\delta(1 - 1/\sigma)) \exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\delta + v/2}{\sqrt{v}}\right)^2\right) d \delta,\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sqrt{v}}\int \exp\left(\delta(1 - 1/\sigma) -\frac{1}{2}\left(\frac{\delta + v/2}{\sqrt{v}}\right)^2\right) d \delta,\\ \end{align*} $$ Ahora manipulamos el término del exponente: $$ \begin{align*} &\delta(1 - 1/\sigma) - \frac{1}{2}\left(\frac{\delta + v/2}{\sqrt{v}}\right)^2,\\ &= \frac{1}{2v}\left[2 \delta v(1 - 1/\sigma) - \delta^2 - \delta v- \frac{v^2}{4}\right]\\ &= \frac{1}{2v}\left[-\delta^2 + 2 \delta[v - v/\sigma - v/2] - \frac{v^2}{4}\right]\\ &= \frac{1}{2v}\left[-\delta^2 + 2 \delta[v/2 - v/\sigma] \underbrace{-[v/2 - v/\sigma]^2 + [v/2 - v/\sigma]^2}_{=0}- \frac{v^2}{4}\right],\\ &= -\frac{1}{2v}\left(\delta-[v/2 - v/\sigma]\right)^2 +\frac{1}{2v}[v/2 - v/\sigma]^2 - \frac{v^2}{8v} \end{align*} $$ Los dos últimos términos dan: $$ \begin{align*} &\frac{v}{2}[1/2 - 1/\sigma]^2 - \frac{v}{8},\\ &=\frac{v}{2}[1/4 - 1/\sigma + 1/\sigma^2 - 1/4],\\ &= \frac{v}{2}\frac{1 - \sigma}{\sigma^2} \end{align*} $$ Así que: $$ \begin{align*} &\int \varepsilon^{1-1/\sigma} f(\ln(\varepsilon)) d (\ln \varepsilon),\\ &= \exp\left(\frac{v}{2}\frac{1 - \sigma}{\sigma^2}\right) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{v}} \int \exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\delta - [v/2 - v/\sigma]}{\sqrt{v}}\right)^2\right) d \delta,\\ &= \exp\left(\frac{v}{2}\frac{1 - \sigma}{\sigma^2}\right)\int g(\delta) d \delta,\\ &= \exp\left(\frac{v}{2}\frac{1 - \sigma}{\sigma^2}\right) \end{align*} $$ Aquí $g(\delta)$ es la distribución de una variable aleatoria normal con varianza $v$ y la media $v/2 - v/\sigma$ , por lo que se integra a 1.

Entonces: $$ \Phi = \left(\int \varepsilon^{1-1/\sigma} f(\ln(\varepsilon)) d (\ln \varepsilon) \right)^\sigma = \exp\left(\frac{v}{2}\frac{1 - \sigma}{\sigma}\right). $$