¿Por qué una compañía de seguros de vida aceptaría pagar una cantidad nominal superior al capital que se le entregó?
Como se ha mencionado en otras respuestas, la compañía de seguros está asumiendo que obtendrá un rendimiento del capital que recibe del rentista que es mayor que el que le está dando al rentista.
El principio básico en el que se basa se denomina valor temporal del dinero . En términos generales (suponiendo tipos de interés positivos), el dinero actual vale más que el futuro, suponiendo que se pueda ganar el tipo de interés libre de riesgo sobre el dinero.
Como se menciona en las otras respuestas, dada la cantidad que van a pagar sólo en la parte garantizada En este caso, necesitan obtener un rendimiento relativamente elevado de los 100.000 dólares, del orden del 5,2%, sólo para alcanzar el punto de equilibrio. Así que es evidente que han calculado que por esa parte ganarán más que esa cantidad.
¿Es tan sencillo?
No es tan sencillo como suponer una tasa de rendimiento del 5,2% durante 20 años, ya que algunas personas de 80 años vivirán hasta una edad superior a los 100 años, y la compañía de seguros querrá cubrir también esos pagos (ya que se trata de una renta vitalicia). Si se tratara de una renta vitalicia garantizada a 20 años, entonces sí, sería así de sencillo, pero se trata de una renta vitalicia, por lo que hay que tener en cuenta la supervivencia.
También es importante entender que no es tan sencillo como tomar $100,000, investing it for 20 years and ending up with $ 160.000 al final de la misma. La razón por la que no es tan simple es que tenemos que pagar al pensionista $664 per month, every month, for the full 20 year term. As a result, we don't gain the returns on these payments over the full 20 year period. This has the effect of us needing a significantly higher interest rate to fund the annuity than we would if we were just sticking the $ 100.000 en una inversión y sacarlo todo al final del periodo de 20 años como una suma global.
¿Cómo calculan lo que vale? o ¿Cómo saben lo que tienen que ganar para obtener beneficios?
La fórmula del valor actual esperado de una renta vitalicia con un período de garantía se denomina 1 :
EPV = P * (ag t + v t * t p x * a (x+t) )
donde:
- El VPE es el valor actual esperado. En este caso, suponiendo que no hay beneficios, se quiere que el VPE sea igual a 100.000 dólares, el dinero que el rentista utilizó para comprar la renta vitalicia)
- t es el tiempo, en años, que quiere que dure su periodo de garantía (en este caso 20 años)
- P es el valor nominal de los pagos de la anualidad durante un solo año (en este caso $664 * 12 = $ 7,968)
- v es el factor de descuento para un solo año al tipo de interés i (así equiparamos el valor del dinero hoy con el valor del dinero mañana)
- ag t es una renta vitalicia garantizada con un plazo de t años (es la parte garantizada de la renta vitalicia)
- a (x+t) es el valor de una renta vitalicia otorgada a una persona de x+t años sin periodo de garantía, donde el principal es 1 de su moneda favorita ($/£/€). Es el resto de la renta vitalicia que no está garantizada.
- t p x es la probabilidad de que una persona de edad x viva hasta la edad x+t (es decir, la probabilidad de que la compañía de seguros tenga que pagar esa cuota)
Esta fórmula puede utilizarse para calcular cualquiera de las tres incógnitas habituales de una renta vitalicia (la prima única, el tipo de interés requerido o los pagos anuales/mensuales al rentista).
Todos ellos suponen también que la renta vitalicia se paga en mora (es decir, yo te pago 100.000 dólares ahora y tú me pagas mi primer pago cuando haya transcurrido un periodo [1 mes]). Hay otras modificaciones que se pueden hacer para calcular una renta vitalicia inmediata (la que te paga por adelantado de cada periodo de interés), pero no son relevantes a efectos de esta pregunta.
Pero, te preguntarás, ¿cómo se calculan estas diferentes fórmulas?
Tres de ellos son bastante sencillos (desde el punto de vista matemático)
- v = 1/(1+i) donde i es el tipo de interés que se espera ganar
- ag t \= ( 1 - v t ) / i
- a (x+t) \= inf suma t=0 (v t * t p x+t ) donde inf suma t=0 indica que está tomando una suma desde t=0 hasta t=infinito.
- Como sabemos que los seres humanos no viven eternamente, la mayoría de las compañías de seguros tienen una supuesta "edad omega" en la que se supone que todos los asegurados mueren. Suele ser de 120 o 125 años. 120 es la hipótesis más utilizada. En consecuencia, esta fórmula se reduce a:
- a (x+t) \= omega_edad - (x+t) suma t=0 (v t * t p x+t )
Nota: las fórmulas presentadas anteriormente suponen un pago anual. Si se tratara de un pago mensual, habría que aplicar otros ajustes tanto a la fórmula de la renta garantizada como a la fórmula de la renta vitalicia para tenerlo en cuenta.
El último término ( t p x ) no tiene una fórmula agradable, y el cálculo de este valor es una gran parte de la razón por la que hay actuarios.
t p x se calcula a partir de datos históricos, para averiguar la probabilidad de que una persona de x años muera en cada periodo de tiempo posterior a esa edad. Estudios como el Continuous Mortality Investigation del Reino Unido dedican importantes recursos a averiguar cuáles son estos valores y a elaborar modelos para predecir los cambios de este valor en el futuro. este tipo de investigaciones producen una tabla de probabilidades de supervivencia previstas para todo un país (por ejemplo, el Reino Unido).
Estas tablas nacionales son ajustadas por las aseguradoras individuales en función de factores como:
- Mejoras en la asistencia sanitaria (y, por tanto, en la esperanza de vida) a lo largo del tiempo
- El hecho de que los asegurados tienden a ser más sanos que la media de la población de un país (debido a que piensan en su salud y gastan dinero en ella)
- Diferencias en la experiencia de la mortalidad según la zona y los ingresos (algunas zonas, como las ciudades mineras del carbón, tienden a tener una experiencia de mortalidad significativamente peor debido a la exposición al polvo de carbón y otros carcinógenos que acortan la vida).
- Si la persona fuma o no
- etc.
Por lo tanto, no existe una fórmula sencilla para ello y, en general, los actuarios se basan en un conjunto de tablas precalculadas que se actualizan al menos una vez al año, y a veces con mayor frecuencia. En general, estas tablas serán elaboradas por el equipo de investigación actuarial de cada empresa. El mismo equipo determinará también una opinión sobre las posibles mejoras de la mortalidad en el futuro, que se aplican sobre los valores de la tabla base tabulada.
¿Cómo se beneficia una compañía de seguros de este acuerdo?
Es importante recordar que son ofreciendo al titular de la póliza una renta vitalicia con una rentabilidad mínima del 5,2% incorporada a la misma, durante toda la vida del asegurado. Para obtener un beneficio de la venta de esta renta vitalicia, la compañía de seguros tiene que añadir un margen a esa cantidad, y ese margen proviene de lo que esperan ganar en los mercados monetarios con el dinero.
Para permitir alguna medida de beneficio, y para los asegurados que viven más allá de los 100 años que se pagan, las compañías de seguros requerirán un rendimiento de la inversión que es más alto que el calculado puramente en la parte garantizada de la anualidad. Por lo tanto, en este caso, es probable que se sitúe entre el 6 y el 16% (el porcentaje exacto dependerá del mercado específico en el que se venda la renta vitalicia, del entorno normativo en el que esté regulada la compañía de seguros y del nivel de beneficios que ésta pretenda obtener).
¿De dónde sale la cifra del 6 al 16%?
Lo digo por mi experiencia trabajando en la parte actuarial de las compañías de seguros en Europa durante casi una década. Debido a la naturaleza competitiva del mercado de los seguros, la mayoría de las aseguradoras buscan (por término medio) un margen de beneficio del 5 al 10% en su cartera de pólizas, siendo el 5% lo habitual (según mi experiencia).
Además, tendrán que obtener algunos ingresos de inversión adicionales sobre el capital para cubrir el periodo posterior al plazo de garantía. En el caso concreto de un asegurado de 80 años, esta necesidad de intereses adicionales será relativamente pequeña en comparación con el conjunto de su cartera de pólizas, debido a la ínfima cantidad de asegurados que viven más allá de los 100 años. Si ofrecieran un rendimiento similar para un asegurado de 60 años, el interés adicional requerido sería más significativo, ya que una parte mucho mayor de la población vive más allá de los 80 años.
¿De dónde sale la cifra del 5,2%?
La cifra del 5,2% procede del cálculo del tipo de interés que se necesitaría para respaldar la parte de la renta vitalicia (es decir, la parte garantizada de 20 años). Para ello, tomamos la fórmula de la renta vitalicia anterior:
y lo multiplicamos por los pagos de la anualidad de 1 año (es decir, P), $664 * 12 = $ 7,968.
Utilizando estos dos datos y el hecho de que sabemos qué pago hará el titular de la renta (100.000 dólares), configuramos la ecuación:
- $100,000 = $ 7,968 * ( 1 - (1/(1+i) ) 20 ) / i
y resolver para i. La forma más rápida de hacerlo es configurar la fórmula en Excel y buscar el tipo de interés correcto. Nota: Si conoce el tipo de interés, esta fórmula es mucho más fácil de utilizar para encontrar uno de los otros dos valores.
Si calculamos ese tipo de interés obtenemos el 4,92%. Como puedes notar, esto no es un 5,2%, ¡y yo prometí un 5,2%! La diferencia viene del hecho de que esta fórmula utiliza un interés compuesto anualmente en lugar de un interés compuesto mensualmente. Si en lugar de ello utilizamos el interés compuesto mensual, la fórmula que tenemos que utilizar es:
- $100,000 = $ 7,968 * ( 1 - (1/(1+i) ) 20 ) / ( 12 * ( (1+i) <sup>(1/m) </sup>- 1 ) )
La modificación que hemos hecho es una modificación estándar. Para traducir una cifra compuesta anualmente a una compuesta m veces al año se multiplica la cifra por i / r <sup>(m) </sup> donde r (m) es el tipo de interés anual compuesto m veces al año.
En nuestro caso, esto significa simplemente sustituir el tipo de interés anual (compuesto anualmente), i En el denominador de nuestra fórmula, el tipo de interés anual (compuesto mensualmente), r (12) \= (12 * ( (1+i) (1/m) - 1 )) .
Al hacerlo, se obtiene un tipo de interés del 5,19%, o del 5,2% si se redondea.
Aviso:
Esta respuesta ignora todos los costes que la aseguradora debe cubrir por encima de las prestaciones de la póliza. Estos costes se cubrirían como parte de la cifra del "6%-16%" que he mencionado antes, pero los beneficios también tendrían que salir de esa cifra.
¿Qué tipo de costes estoy ignorando?
- Sueldos (normalmente un 30% de la base de costes de una organización)
- El mantenimiento de los edificios y los costes de los seguros (sí, las aseguradoras tienen que asegurar sus edificios)
- Costes de transacción para operar en los mercados financieros
- Investigaciones de fraude (algunas personas están contentas de presentar reclamaciones fraudulentas porque lo consideran un "delito sin víctimas", pero no lo es, se contabiliza en las primas de todos los asegurados por esa compañía)
- Futuros cambios normativos (las compañías de seguros son negocios muy regulados y los cambios, como Solvencia 2, pueden costar importantes cantidades de dinero para cumplir con ellos)
- Riesgo de contraparte (qué pasa si uno de sus proveedores quiebra, ellos siguen necesitando prestar el servicio que ese proveedor estaba proporcionando)
- etc.
Obviamente, el efecto de todos estos factores sobre el tipo de interés depende en gran medida del volumen de la cartera de pólizas de la compañía de seguros (¡las rentas vitalicias también son pólizas!). Los libros más grandes pueden hacer uso de las economías de escala para exigir menores rendimientos de los tipos de interés en sus pólizas, y así ofrecer primas más bajas (y atraer a más asegurados).
1: Hay una notación más formalizada para esto, para diferenciar las rentas garantizadas de las vitalicias, pero el sitio de stackexchange no permite formatear esa notación fuera de usar imágenes, que no son amigables para los lectores de pantalla.
