Demostrar que $h(p,u) = \nabla_p e(p,u)$ está implícito en la identidad de Roy

Question

Estoy luchando un poco con las matemáticas en mi primer curso de microeconomía de posgrado. No estoy seguro de si esto pertenece aquí. Si no es así, por favor diríjanme a un lugar más apropiado.

A continuación se muestra una pregunta junto con la solución proporcionada. La parte roja es la parte que no sigo.

No entiendo cómo el derivado de $v(p, e(p,\overline{u}))$ con respecto al vector de precios puede evaluarse al LHS de la ecuación dada.

Quizás estoy confundido por la notación vectorial, así que cualquier paso que explique esta ecuación sería muy apreciado.

Answer 1

A) La convención, al diferenciar una función de valor real $v$ wrt a un vector de columnas $p$ de dimensión $(G \times 1)$ es eso: $$ \nabla _{p}v\left( p,w\right) \equiv \frac{\partial v}{\partial p}\left( p,w\right) =\left( \begin{array}{c} \frac{\partial v}{\partial p_{1}}\left( p,w\right) \\ \vdots \\ \frac{\partial v}{\partial p_{G}}\left( p,w\right) \end{array}% \right). $$

b) Cuando los gastos $w$ no son constantes, el vector columna $p$ con respecto a la cual tomamos la derivada ocurre dos veces en $v(p, e(p,\overline{u}))$ y hay que aplicar la regla de la cadena para obtener el efecto total del cambio de precios sobre la utilidad indirecta: el primer efecto parcial sobre la utilidad se debe a los cambios de precios, y el segundo efecto es a través del ajuste en los gastos que implica el cambio de precios. De ahí la expresión \begin{eqnarray*} &&\frac{\partial v}{\partial p}\left( p,e\left( p,u\right) \right) +\frac{% \partial v}{\partial w}\left( p,e\left( p,u\right) \right) \frac{\partial e}{% \partial p}\left( p,u\right) \\ &=&\left( \begin{array}{c} \frac{\partial v}{\partial p_{1}}\left( p,e(p,u)\right) \\ \vdots \\ \frac{\partial v}{\partial p_{G}}\left( p,e(p,u)\right) \end{array} % \ derecho) +\frac{parcial v}{parcial w}{izquierda( p,e(p,u)\ derecho) \frac( \begin{array}{c} \frac{\partial e}{\partial p_{1}}\left( p,u\right) \\ \vdots \\ \frac{\partial e}{\partial p_{G}}\left( p,u\right) \end{array} % \N - derecha). \N - fin{eqnarray*}