Duopolio mixto Cournot/Bertrand

Question

Estoy aprendiendo modelos básicos de Oligopolio.

Sé que :

• En el modelo de Cournot, las empresas fijan la producción: la producción es la variable estratégica.
• En el modelo de Bertrand las empresas fijan los precios: el precio es la variable estratégica.

Los problemas sencillos que veo suelen dar la fucnión demanda/coste para un duopolio diferenciado y nos permiten determinar el equilibrio Bertrand o Cournot.

Sin embargo, aquí hay un mercado mixto:

Supongamos el siguiente duopolio (las empresas se denominan 1 y 2) con las siguientes funciones de demanda:

$$P_1=100-0.5Q_1-0.4Q_2 \\ P_2=100-0.5Q_2-0.4Q_1$$

La empresa 1 juega a Cournot y la empresa 2 a Bertrand. Suponiendo que no hay costes, encontrar la solución óptima de Nash cantidad-precio.

¿Cómo puedo resolver el equilibrio?

Answer 1

Cada jugador busca maximizar sus ingresos. Como ha dicho, en el modelo Cournot, el jugador varía la producción. En el modelo de Bertrand, el jugador varía el precio.

Así que primero resolvemos para $Q_{2}$ en función de $P_{2}$ :

$$Q_{2} = 200 - 2P_{2} - 0.8Q_{1}$$

A continuación, sustituimos $Q_{2}$ en $P_{1}$ para conseguirlo:

$$P_{1} = 100 - 0.5Q_{1} - 0.4 (200 - 2P_{2} - 0.8Q_{1}) = 50 - 0.18Q_{1} + 0.8P_{2}$$

Jugador $1$ El problema de maximización de la empresa es:

$$\max_{Q_{1}} 50Q_{1} - 0.18Q_{1}^{2} + 0.8P_{2}Q_{1}$$

Lo que da lugar a las condiciones de primer orden:

$$0.36Q_{1} = 50 + 0.8P_{2} \implies Q_{1}^{*} = \frac{1250}{9} + \frac{20}{9}P_{2}$$

Ahora podemos sustituir $Q_{1}^{*}$ en $Q_{2}$ para conseguirlo:

$$Q_{2} = 200 - 2P_{2} - \frac{4}{5}(\frac{1250}{9} + \frac{20}{9}P_{2})$$

Ahora maximiza $Q_{2}$ con respecto a $P_{2}$ . ¿Puedes llevarlo desde aquí?