Cálculo de la duración Macaulay de un bono de tipo variable

Question

Soy nuevo en la fijación de precios de los bonos:

Supongamos que quiero fijar el precio de un bono de tipo flotante con un valor nominal de 100 dólares, con vencimiento en $T$ años a partir de ahora, pagando cupones semestralmente.

Supongamos que $r_{n-0.5,n} $ denota el tipo de interés anual desde el momento $n-0.5$ al tiempo $n$ , donde $n \in \Pi:=\{ 0.5, 1, \ldots, T-0.5, T\}.$ Para cada $n \in \Pi $ , dejemos que el tipo de interés del cupón $c_n$ se define por $$ c_n := \frac{r_{n-0.5,n}}{2}. $$ Dejemos que $r_0:= 7.5 \%$ y que la curva de rendimiento es plana en $7.5 \%$ también.

Por lo tanto, el flujo de caja del bono de tipo variable viene dado por

Tiempo $0$ : Pago de \$ $100$ .

Tiempo $1/2$ : Recepción de \$( $50r_{0,0.5}$ ).

$\vdots$

Tiempo $T-1/2$ : Recepción de \$( $50r_{T-1,T-0.5}$ ).

Tiempo $T$ : Recepción de \$( $100+50r_{T-0.5,T}$ ).

Me interesa la informática

(i) el valor actual del bono;

(ii) la duración del bono de Macaulay.

Primera pregunta :

Aparentemente, mediante algunos argumentos de replicación de cartera, se puede demostrar siempre que cualquier bono con esta estructura tiene un valor presente igual al valor nominal (página 4 del siguiente enlace):

http://people.stern.nyu.edu/jcarpen0/courses/b403333/09floater.pdf

Por lo tanto, parece que por el mismo argumento, el valor actual es \$ $100$ . ¿Es esto correcto?

Segunda pregunta :

Estoy totalmente perdido. Según la definición de la duración de Macaulay, para cualquier vínculo con rendimiento constante $i$ y pagos de cupones $c_{t_1}, \ldots, c_{t_k}$ a veces $t_1, \ldots, t_k$ respectivamente, la duración de Macaulay se define por $$ D= \sum_{j=1}^k t_j \bigg[ \frac{ \frac{c_{t_j}}{(1+i)^{t_j}} }{B} \bigg], $$ donde $B$ denota el valor del bono. Está claro que esto no tiene ninguna utilidad en este problema, ya que los flujos de caja del cupón son desconocidos. Observo que hay discusiones similares sobre este tema, pero la respuesta me parece imposible de seguir, por ejemplo

Duración. Nota de tipo flotante

¿Puede alguien escribir una fórmula explícita para calcular la duración, lo más clara posible, para un principiante como yo? Gracias.

Answer 1

Las respuestas a sus dos preguntas ya se pueden encontrar en Duración. Nota de tipo flotante , Duración de un bono a tipo variable o los apuntes que enlazaste, pero escribiré los detalles para un argumento de la cartera no replicada.

El valor de un bono de tipo variable (flotante) siempre será igual a la par, suponiendo que el reajuste del cupón sea igual al tipo vigente a 6 meses, $r_{n-0.5, n}$ . Para ver esto, comience por considerar $P(T-0.5)$ el precio del bono en $T - 0.5$ . Desde $P(T-0.5)$ es el valor actual (en el momento $T-0.5$ ) de los flujos de caja recibidos al vencimiento del bono , tenemos:

$$ P(T-0.5) = \frac{100 + 100 \cdot \frac{r_{T-0.5,T}}{2}}{1 + \frac{r_{T-0.5,T}}{2}} = 100 $$

De la misma manera, $P(T-1)$ es igual al valor actual de la suma de $P(T-0.5)$ y el pago del cupón recibido en $T - 0.5$ , $100 \cdot r_{T-1, T-0.5}/2$ :

$$ P(T-1) = \frac{P(T-0.5) + 100 \cdot \frac{r_{T-1,T-0.5}}{2}}{1 + \frac{r_{T-1,T-0.5}}{2}} = 100 $$

Continuando con este argumento "hacia atrás", concluimos que $P(0)$ el valor actual del flotador, es 100.

La fórmula de la duración de Macaulay que usted cita generalmente sólo se define para un bono con flujos de caja fijos y no se aplica aquí. Otra forma de proceder es calcular primero la duración modificada $D_{Mod} = - \frac{1}{P}\frac{\partial P}{\partial y}$ , donde $y$ es el rendimiento del bono, y luego utilizar la relación $D_{Mac} = D_{Mod}*(1+y/2)$ (suponiendo una capitalización semestral).

Ahora, nuestro argumento anterior muestra que en cualquier momento $t$ entre 0 y 0,5, el precio del flotador viene dado por:

$$ P(t,y) = \frac{100 + 100 \cdot \frac{r_{0,0.5}}{2}}{(1 + \frac{y}{2})^p} $$ donde $p$ es la fracción del período de 6 meses correspondiente al intervalo $(t, 0.5)$ .

Entonces: $$ D_{Mod} = - \frac{1}{P}\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\frac{p}{2}}{1 + \frac{y}{2}} $$

Concluimos que $D_{Mac} = \frac{p}{2}$ y en particular que en $t=0$ , $D_{Mac} = \frac{1}{2}$ .

Answer 2

En cuanto a la valoración, puede ser útil: http://www.fimmda.org/uploads/general/Rajwade16may.pdf