Topología en el espacio de funciones medibles

Question

El contexto es el siguiente:

Supongamos que tenemos un juego secuencial de 2 períodos, con el jugador $i$ en el escenario $i$ con el conjunto de acciones $A_i$ .

Dar $A_i$ todas las propiedades agradables, como espacios métricos compactos y separables (me encantaría incluso considerar $A_i \subset \mathbb{R})$ .

Una estrategia para el jugador 1 es un mapa $\sigma \in \Delta(A_1)$ y para P2 una función medible $\eta:A_1 \rightarrow \Delta(A_2)$ .

Está claro que cuando dote $\Delta(A_1)$ con la topología débil, puedo hablar de una secuencia de estrategias que tiene una subsecuencia convergente.

¿Hay alguna topología que pueda poner en $\Sigma=\{\eta:A_1 \rightarrow \Delta(A_2) : \eta \text{ measurable}\}$ que me permita extraer subsecuencias convergentes?

Answer 1

No es así. Hay muchas topologías compactas metrizables que se pueden poner en este espacio, pero ninguna que se relacione significativamente con la estructura del problema.

Veamos primero el caso $A_1=[0,1]$ y $A_2=\{0,1\}$ . Consideremos la función de elevación $e:A_1\times\Sigma\to\Delta(A_2)=[0,1]$ dado por $e(a,\eta)=\eta(a)$ . Si quieres la última opción de acción del jugador $2$ ser continuo en el jugador $1$ y la estrategia elegida por el jugador $2$ , necesitas $e$ para ser continua. En particular, $e$ debe ser medible cuando se dota $\Sigma$ con el Borel $\sigma$ -Álgebra. Eso nunca funciona:

Se deduce del resultado principal (Teorema D) del artículo de Robert Aumann de 1961 " Estructuras de Borel para espacios de funciones. " que no hay Borel $\sigma$ -álgebra en $\Sigma$ que hace que $e$ conjuntamente medibles. Para los consumidores, recomendaría leer el artículo de Aumann de 1963 " Sobre la elección de una función al azar. " en su lugar.

Para hacer esto un poco más digerible, vamos a $F$ sea el conjunto de funciones medibles del intervalo unitario a sí mismo. Sea $e:[0,1]\times F\to [0,1]$ sea dada por $e(x,f)=f(x)$ . Si dotamos $[0,1]$ con el Borel $\sigma$ -y el álgebra $F$ con cualquier (!) $\sigma$ -Álgebra, $e$ será necesariamente no medible. Ahora bien, según Kuratowski teorema del isomorfismo todos los espacios métricos incontables separables y completos son isomorfos como espacios medibles. Esto incluirá $A_1$ (si es incontable) y $\Delta(A_2)$ (si $A_2$ tiene al menos $2$ elementos).