Explicación de la fórmula de la volatilidad implícita dada $\sigma(t)$

Question

Si $dS = S\mu dt + S \sigma(t) dW$ entonces sabemos que la volatilidad implícita es $\int_0^T \sigma^2(s)/T \ ds$ .

Sin embargo, si $\sigma(t)$ es una función constante a trozos, es decir, constante entre $T_1, T_2$ y entre $T_2, T_3$ y así sucesivamente.

Entonces, según algunos apuntes de clase, los vols implícitos son

Eso, no lo entiendo del todo. ¿De dónde viene esta fórmula? Si $T$ es el vencimiento, entonces cómo puede haber un $T_{i+1} > T$ ? Pensaba que la caducidad era la última tal $T$ ¿valor?

Answer 1

Obsérvese que la volatilidad implícita viene dada por \begin{align*} \hat{\sigma}(T)=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T \sigma^2(t) dt}, \end{align*} mientras que $\frac{1}{T}\int_0^T \sigma^2(t) dt= \hat{\sigma}^2(T)$ es la varianza implícita.

Para una función de volatilidad constante a trozos $\sigma$ la varianza implícita para la opción con vencimiento $T$ , donde $T_i \le T \le T_{i+1}$ viene dada por \begin{align*} \hat{\sigma}^2(T)&=\frac{1}{T}\int_0^T \sigma^2(t) dt \\ &= \frac{1}{T}\left(\int_0^{T_i}\sigma^2(t) dt + \int_{T_i}^T\sigma^2(t) dt \right)\\ &=\frac{1}{T}\left(T_i\, \hat{\sigma}^2(T_i) + (T-T_i)\, \sigma_{i+1}^2\right), \end{align*} donde \begin{align*} \hat{\sigma}^2(T_i) = \frac{1}{T_i}\int_0^{T_i}\sigma^2(t) dt \end{align*} es la varianza implícita para la opción con vencimiento $T_i$ .