Superjuego simple del tipo halcón-paloma

Question

Tenemos lo siguiente superjuego : $$\begin{array}{cc} & a_1 & a_2 \\ a_1 & 0,0 & -1,1 \\ a_2 & 1,-1 & -2,-2 \end{array}$$ Quiero demostrar que tanto el desencadenar (o lúgubre ) y el castigo mutuo, dan la solución cooperativa $(a_1,a_1)=(0,0)$ para el factor de descuento $\delta>\dfrac{1}{2}$ . En el caso del castigo mutuo, si los jugadores han observado $(a_1,a_1)$ o $(a_2,a_2)$ en la ronda previa, eligen $a_1$ . En caso de que hayan observado $(a_1,a_2)$ o $(a_2,a_1)$ eligen $a_2$ durante una ronda y luego suponemos que vuelven a cooperar.

Mis ideas para la segunda son (el jugador 1 (p1) es el jugador de línea y el jugador 2 el de columna (p2)): Estrategia: Mientras cooperamos ambos ganamos una recompensa cero, por lo que la función de valor es: $$V_1^{C}= 0 + 0 \cdot \delta + 0 \cdot \delta^{2} + ... = 0$$ Supongamos que p2, se desvía unilateralmente de la estrategia de cooperación en la ronda 1 jugando $a_2$ Así que ambos jugadores en la segunda ronda juegan la estrategia de castigo mutuo, es decir, $-2$ pierde para todos. A partir de ahí, suponemos que ambos juegan según la estrategia cooperativa, es decir, la función de valor es: $$V_2^{NC}=1 - 2 \cdot \delta + 0 \cdot \delta + 0 \cdot \delta^{2} + ... = 1 - 2 \cdot \delta$$ Cooperarán si: $$V_1^{C}>V_2^{NC}\Rightarrow \delta>\dfrac{1}{2}$$ En el caso de la estrategia grim/trigger, los jugadores dejan de cooperar a perpetuidad, ¿en qué difiere la solución?

Nota: El juego es el halcón-paloma tipo superjuego.

Answer 1

Por último, creo que es fácil de responder. Bien, en el caso de que algún jugador no coopere y se active la estrategia del triger, tenemos las siguientes soluciones: Supongamos que p2 no coopera en la primera ronda por lo que ganará un pago de 1, pero en la segunda ronda p1 juega $a_2$ y no cooperará con p2 en perpetuo. Así, tenemos que p2 jugará $a_1$ porque al jugar $a_2$ aumenta sus pérdidas y la función de valor es: $$V_2^{NC}=1-1\cdot\delta-1\cdot\delta^2-1\cdot\delta^3+...=1-\delta\sum_{j=1}^{+\infty}\delta^{j}=1-\dfrac{\delta}{1-\delta}$$ Por lo tanto, cooperarán si: $$0>1-\dfrac{\delta}{1-\delta}\Rightarrow \delta>\dfrac{1}{2}$$ De manera diferente, si ambos jugadores eligen estrategias de activación, entonces p2 también elige $a_2$ , entonces ambos harán pérdidas de -2 y la función de valor es: $$V_2^{NC}=1-2\cdot\delta-2\cdot\delta^2-2\cdot\delta^3+...=1-2\delta\sum_{j=1}^{+\infty}\delta^{j}=1-\dfrac{2\delta}{1-\delta}$$ y por lo tanto cooperarán si: $$0>1-\dfrac{2\delta}{1-\delta}\Rightarrow \delta>\dfrac{1}{3}$$