¿Cuál es la causa de la diferencia en el valor teórico vs el valor observado de una opción (call) bajo el modelo de Black-Scholes?

Question

Actualmente estoy considerando el precio $C_0$ de una opción de compra en una acción $S$ con $$ S_0 = 1 \\ K = 1.1 \\ r = 1\% \\ T = 1 $$

Basándome en la fórmula de Black-Scholes, he deducido que $C_0 = 0.356$.

Sin embargo, actualmente estoy intentando replicar este resultado en R. Para hacer esto, he:

1. Simulado 1000 procesos de Wiener (cada uno con 1001 pasos de tiempo entre $t=0$ y $t=1$)
2. Basándome en estos procesos, he creado 1000 modelos para la evolución del precio de la acción $S_t$, basado en la fórmula $$ S_t = \exp(-W_t + t) $$
3. Basándome en los 1000 valores obtenidos para $S_1$, he calculado el pago de la opción de compra $C$ en cada caso
4. Descontando cada uno de estos valores, multiplicándolos por $e$, he encontrado 1000 posibles valores para $C_0$, de los cuales luego he calculado la media

Sin embargo, este método da un resultado (de aproximadamente 4) que varía significativamente del resultado teórico obtenido usando la fórmula de Black-Scholes. Presumo que esto se debe a un error en mi método usado en R.

¿Alguien puede ayudarme a entender dónde podría estar fallando?

EDICIÓN: La siguiente imagen muestra la pregunta exacta que estoy intentando responder.

Answer 1

Una tarea curiosa, pero consideremos simplemente la información disponible.

Se te da un proceso algo extraño $S_t = S_0e^{-W_t+t}$ y el resto de la pregunta que te señala hacia la "medida de probabilidad implícita" parece indicar que el proceso mencionado está bajo la medida física $P$.

La EDP que sigue $S$ bajo $P$ debe ser:

$\frac{dS_t}{S_t} = \frac{3}{2}dt - dW_t$ para que todo tenga sentido.

Bajo la medida neutra al riesgo $Q$ (y asumiré que esto es lo que se entiende por medida implícita), tendremos (invirtiendo el signo de $dW_t$ por cordura)

$\frac{dS_t}{S_t} = dt + dW_t$

Dado que $r\equiv{1}$

Y la solución a esto es $S_T = S_0e^{\frac{1}{2}T+W_T}$

Esto es lo que necesitas simular $N$ veces (no necesitas el camino completo) para calcular el pago de una llamada en un año, y a partir de eso su valor esperado descontado.

Nota: el valor esperado (bajo $Q$) de $S_T$ aquí es $e^{1} = 2.71...$ y por lo tanto, intuitivamente tu llamada de precio de ejercicio 1.1 estará muy en el dinero, con un valor esperado no descontado del orden de 1.6 + algún valor temporal ya que la volatilidad sigue siendo bastante alta ($\sigma=1$). Tu factor de descuento es $e^{-1}=0.36...$ así que tu llamada debería valer alrededor de 0.60. Si insertas $S_0, T, r,\sigma, K$ en un precio de Black-Scholes, eso es lo que deberías encontrar.

Answer 2

Si $r=1$ y $\sigma=\sigma^2=1$, entonces: $$ S_t=\exp\left(\color{red}{\frac{t}{2}}-W_t\right)$$

Estoy un poco confundido porque deberías estar obteniendo valores menores que $C_0=0.356$ en lugar de más altos. Además, ¿te refieres a $\sigma=1=100\%$ o $\sigma=1\%=0.01?$ ¿$r=1=100\%$ o $r=1\%=0.01?$

Además, para evitar confusiones, aunque $W_t$ y $-W_t$ tienen la misma distribución, escribiría: $$ S_t=\exp\left(\color{red}{\frac{t}{2}} \color{red}{+} W_t\right)$$

Finalmente, dado que se trata de una opción Europea, puedes simular directamente el estado terminal $S_1$ en lugar de todo el camino entre $S_0$ y $S_1.

Avísame si esto te ayuda.