Desigualdades en los swaps americanos co-terminales/co-iniciales frente a los bermudeños

Question

Consideremos un calendario de pagos $\mathcal{P}:=\{t_1,\dots,t_n\}$ que tiene un programa de fijación correspondiente $\mathcal{F}:=\{t_0,\dots,t_{n-1}\}$ . Tenemos una serie de swaps co-terminales y co-iniciales con fechas de pago flotantes y fijas coincidentes, convenciones de devengo y nocionales $-$ la tasa de flotación específica no importa. Por lo tanto, el valor de estos swaps en el momento $t$ son en el caso de un pagador: $$V_t(t_i,t_j)=\sum_{k=i}^j\delta_k(R_t(t_{k-1},t_k)-C)P_t(t_k)$$ donde $C$ es el tipo fijo del swap, $R_t(t_{k-1},t_k)$ el valor a plazo de la fijación del tipo flotante en $t_{k-1}$ y pagado en $t_k$ y $P_t(t_k)$ el factor de descuento, con $\delta_k:=t_k-t_{k-1}$ la fracción de devengo (hemos prescindido de la nocional y hemos asumido que es 1).

Introduzcamos la notación $\mathcal{F}_{i,j}:=\{t_i,\dots,t_j\}$ . Dejemos que $B_t(t_i,t_n)$ sea el valor en $t$ de un swaption vainilla de Bermudas que da derecho a entrar en una de las fechas de fijación $t_{i-1},\dots,t_{n-1}$ en un swap que comienza (pagos) en $t_i,\dots,t_n$ respectivamente y terminando en $t_n$ es decir, el conjunto de ejercicios de las Bermudas es $\mathcal{F}_{i-1,n-1}$ . Sea $A_t(t_i,t_n)$ sea el valor correspondiente de la swaption americana vainilla que puede ejercerse en cualquier fecha dentro de $[t_{i-1},t_n]$ (1) . Utilizamos una notación equivalente para las swaptions coinicitivas: $B_t(t_1,t_i)$ que puede introducirse en cualquier fecha desde $\mathcal{F}_{0,i-1}$ y $A_t(t_1,t_i)$ donde en este caso el swaption americano puede ser ejercido dentro de $[t_1,t_i]$ (1) .

En qué circunstancias tendríamos:

$$\begin{align} &1)& A_t(t_{i-1},t_n)-A_t(t_i,t_n) & \ \pmb{>}\ %\quad \begin{array}\\>\\\geq\\=\end{array} \quad B_t(t_{i-1},t_n)-B_t(t_i,t_n)\ ? \\[6pt] &2)& A_t(t_1,t_{i+1})-A_t(t_1,t_i) & \ \pmb{>}\ %\quad \begin{array}\\>\\\geq\\=\end{array} \quad B_t(t_1,t_{i+1})-B_t(t_1,t_i)\ ? \end{align}$$ es decir, el cambio de valor por la inclusión de un flujo de canje adicional es estrictamente mayor para las swaptions americanas que para las bermudas?

_{(1) Si la swaption americana se ejerce en <span class="math-container">$t\in[ti,t{i+1})$</span> asumimos la fijación de <span class="math-container">$ti$</span> se acumula linealmente desde <span class="math-container">$t$</span> a <span class="math-container">$t{i+1}$</span> y se paga a <span class="math-container">$t_{i+1}$</span> . A efectos matemáticos, esto garantiza que el valor de intercambio pueda representarse como una función continua.}

Answer 1

Tengo la siguiente idea: considerar el límite de baja volatilidad. Entonces, la estrategia de ejercicio se conoce simplemente comparando el cupón con el tipo de swap restante. Si la adición del período adicional al principio crea un ejercicio óptimo en la primera fecha posible para ambos $A$ y $B$ entonces $A=B$ después de la adición, mientras que es posible que $A>B$ antes de la adición.

Por ejemplo, supongamos para simplificar el intercambio de un solo período de $t_1$ a $t_2$ , donde $t_2-t_1$ = 1 año. Tomemos $C=2$ y los tipos de interés a plazo a un día son constantes al 0% para $[t_1, (t_1+t_2)/2]$ y un 3% para $[ (t_1+t_2)/2,t_2]$ . Entonces $B$ sólo tiene una fecha de ejercicio posible, que está fuera del dinero (cupón = 2, mientras que el tipo de swap restante=1,5= (0+3)/2 ). Por tanto, $B=0$ . Sin embargo, $A$ es distinto de cero, porque la estrategia óptima de ejercicio es esperar hasta que $(t_1+t_2)/2$ entonces el ejercicio, entregando un valor igual a (3-2)/2= 1/2. Ahora, añade el periodo $[t_0, t_1]$ al frente, y dejar que el tipo de interés a un día dentro $[t_0, t_1]$ sea igual al 5%. Entonces es fácil demostrar que la estrategia óptima de ejercicio para A y B es hacer ejercicio a $t_0$ . Por lo tanto, $A=B$ después de la adición, violando la desigualdad propuesta.

Siento que sea un ejemplo tan torturado, espero que ayude.