¿Cuál es la representación del espacio estatal para el modelado DSGE?

Question

Estoy comenzando con la modelización DSGE, y una representación matemática (quizás trivial para la mayoría de las personas que están más familiarizadas con este tema) es la representación de espacio-estado de un modelo dinámico, como se muestra aquí (s.2), o en documentos similares.

Ya he leído el artículo de Wikipedia sobre este tema, y entiendo la idea general (en este caso aplicada a la ingeniería). Pero quiero una explicación más detallada sobre cómo se aplica en la modelización DSGE, y si es posible algo de literatura (preferiblemente centrada en economía). La pregunta concreta es qué es una representación de espacio-estado, si es posible con algo de intuición, sus usos en economía (teoría de control), y algunas ideas clave sobre la notación.

¡Gracias!

Answer 1

Esta pregunta es demasiado amplia tal como está. Ya hay una respuesta más larga, pero creo que es posible abordar fácilmente una parte central de la pregunta.

La pregunta concreta es qué es una representación de espacio de estados, si es posible con algo de intuición, sus usos en economía (teoría de control)

Mi formación está en teoría de sistemas de control, donde se desarrolló la noción de una representación en espacio de estados. La teoría de control óptimo, incluido el filtro de Kalman, se desarrolló principalmente en la década de 1960. Los economistas han seguido utilizando las ideas fundamentales, pero se han trasladado a sus propios estándares de presentación matemática.

Un modelo de espacio de estados es una representación canónica de un sistema matemático. La idea es tomar un modelo derivado de dinámicas subyacentes y volver a formatearlo en un formato estándar para que se puedan aplicar herramientas existentes a él.

En la teoría de control, la forma canónica estándar de un sistema en espacio de estados no lineal es: $$ x(t+1) = f(t, x(t), w(t)), $$ $$ y(t) = g(t, x(t), w(t)), $$ $$ x(0) = x_0 \in R^n, $$ con:

• $x(t)$ un vector de estado n-dimensional,
• $w(t)$ un vector de todas las variables externas,
• $y(t)$ un vector de variables medidas.

Una simplificación bastante típica es que el sistema es lineal e invariante en el tiempo, donde la descripción se reduce a: $$ x(t+1) = A x(t) + B w(t), $$ $$ y(t) = C x(t) + D w(t). $$

Ejemplos típicos de variables externas que aparecen en $w$ incluyen:

• variables utilizadas para controlar el sistema (típicamente fijadas por reglas de retroalimentación),
• variables que perturban las variables de estado,
• ruido que afecta las mediciones.

El vector $w$ a menudo se divide en grupos que corresponden a estos casos, y las matrices $B,C,D$ se dividen correspondientemente.

Una vez que tenemos el sistema en este formato, podemos aplicar herramientas existentes. Un ejemplo típico es aplicar el filtro de Kalman para inferir la variable de estado $x(t)$ a partir de variables medidas directamente. Los paquetes numéricos darán resultados basados en la representación $[A,B,C,D]$.

En economía, la variable $r^*$ suele ser inferida mediante el uso de un filtro de Kalman (por ejemplo, ver página r* de la Reserva Federal de Nueva York). Esta variable corresponde aproximadamente a lo que se llamaba "la tasa de interés natural" y no se puede medir directamente. En su lugar, debe inferirse a partir de variables medidas. Este ejemplo subraya por qué necesitamos diferenciar entre el vector de estado y las variables que se miden directamente. El vector de estado incluye todas las variables necesarias para la descripción dinámica del sistema, y no solo variables que se miden.

(Nota: la teoría de control usa una definición algo ininteligible de "observable". Una variable es observable si su valor se puede inferir a partir de mediciones, aunque no se mida directamente. Dado que la observabilidad es un requisito matemático para que el filtro de Kalman converja, esto debe tenerse en cuenta al leer documentación preparada por ingenieros de control).

Como nota técnica final, las representaciones en espacio de estados no siempre pueden existir. Un ejemplo clave en teoría de control son los sistemas lineales continuos en el tiempo con un retardo temporal. Se requeriría un número infinito de estados para representar un retardo temporal, por lo que los ingenieros se ven obligados a usar representaciones en el dominio de la frecuencia o una aproximación.

Answer 2

Representaciones del Espacio de Estados de Sistemas Lineales:

https://lpsa.swarthmore.edu/Representations/SysRepSS.html

A medida que los sistemas se vuelven más complejos, representarlos con ecuaciones diferenciales o funciones de transferencia se vuelve engorroso. Esto es aún más cierto si el sistema tiene múltiples entradas y salidas. Este documento introduce el método del espacio de estados que en gran medida alivia este problema. La representación del espacio de estados de un sistema reemplaza una ecuación diferencial de orden n con una única ecuación diferencial de matriz de primer orden.

Las ventajas de esta representación incluyen:

• La notación es muy compacta. Incluso sistemas grandes pueden ser representados por dos ecuaciones simples.
• Debido a que todos los sistemas se representan con la misma notación, es muy fácil desarrollar técnicas generales para resolver estos sistemas.
• Los ordenadores simulan fácilmente ecuaciones de primer orden.

Los DSGE son Modelos de Espacio de Estados (ver página 11 de presentación de 20 páginas).

https://www.karlwhelan.com/MAMacro/part10.pdf

En general, para que un modelo tenga estimaciones econométricas bien definidas, es necesario que para cada variable observable haya al menos un shock no observable. Esto puede tomar la forma de un "error de medición" o involucrar un shock en cada ecuación con una clara interpretación estructural.

Los modelos DSGE log-linealizados con una mezcla de variables observables y no observables son un ejemplo de modelos de espacio de estados. Recuerde que estos modelos pueden ser descritos utilizando dos ecuaciones.

La primera, conocida como la ecuación de estado o de transición, describe cómo un conjunto de variables de estado no observables, S(t), evolucionan con el tiempo de la siguiente manera:

S(t) = FS(t1) + u(t).

El término u(t) puede incluir errores distribuidos de forma normal o tal vez ceros si la ecuación que se describe es una identidad. Escribiremos esto como u(t) N(0,u) aunque u puede no tener rango de matriz completo.

La segunda ecuación en un modelo de espacio de Estados, que se conoce como ecuación de medición, relaciona un conjunto de variables observables, Z(t), con las variables de estado no observables

Z(t) = HS(t) + v(t)

Nuevamente, el término w(t) puede incluir errores distribuidos de forma normal o tal vez ceros si la ecuación que se describe es una identidad. Escribiremos esto como v(t) N(0,v) a pesar de que v puede no tener un rango de matriz completo.

En ingeniería, la representación de espacio de estados es principalmente una forma estándar de caracterizar el sistema en términos de métodos de matrices estándar aplicados en solucionadores de software. Sin embargo, la referencia DSGE anterior dice que los DSGE son modelos de espacio de estados.

El documento de trabajo de 30 páginas (2012) en este enlace tiene el título Estimación Bayesiana de Modelos DSGE:

https://philadelphiafed.org/-/media/research-and-data/publications/working-papers/2012/wp12-4.pdf

Proporciona una breve historia de la Estimación de Modelos DSGE y luego describe la aplicación de un Modelo DSGE Keynesiano Canónico Nuevo. La página 12 describe la representación de espacio de estados del NKDSGE. Esta cita ofrece una visión de la suposición bayesiana de que no existe un modelo "verdadero" para el sistema en contraste con la suposición frecuentista:

Los bayesianos evitan tener que asumir que existe un modelo DSGE verdadero o correctamente especificado debido al principio de verosimilitud (LP). El LP es un fundamento de la estadística bayesiana y dice que toda la evidencia sobre un modelo DSGE está contenida en su verosimilitud condicional a los datos; ver Berger y Wolpert (1988). Dado que la evaluación probabilística de los datos de un modelo DSGE se resume mediante su verosimilitud, las verosimilitudes de una serie de modelos DSGE poseen la evidencia necesaria para juzgar cuáles se ajustan "mejor" a los datos. Por lo tanto, la evaluación basada en la verosimilitud bayesiana es consistente con la idea de que no hay un modelo DSGE verdadero porque, por ejemplo, esta clase de modelos está afectada por una especificación incorrecta incurable.

Entonces, los modelos DSGE son datos en busca de los modelos subyacentes más probables. La representación del espacio de estados es un método para estructurar la búsqueda de una solución utilizando teoría numérica y métodos.

Se han mencionado dos referencias académicas sobre modelos DSGE con el software de código abierto Dynare que ejecuta simulaciones de DSGE en una plataforma subyacente.

https://www.dynare.org/

Las preguntas se publican en el Foro de Dynare:

https://forum.dynare.org/

PD: A pesar de esta larga respuesta, añadiré que mi intuición como ingeniero eléctrico y antiguo abogado comercial que sigue los mercados financieros como sistemas de flujo de efectivo es la siguiente. Cuando los inversores y los tramitadores de crédito convergen percepciones para "aumentar el riesgo" en conjunto, los balances se expanden, los flujos de efectivo aumentan, los precios de los activos suben, cosas buenas suceden y el PIB aumenta. Cuando los inversores optan por "disminuir el riesgo" y los tramitadores de crédito convergen para "disminuir el riesgo" en conjunto, los balances intentan deshacerse, los flujos de efectivo disminuyen, los precios de los activos caen, ocurren cosas malas y el PIB disminuye o no vuelve a las tasas de crecimiento anteriores debido a la histeresis en el comportamiento de los agentes inteligentes. Si las percepciones no convergen, entonces los precios de los activos serán más estables y menos propensos a excederse y colapsarse, pero si las percepciones convergen para impulsar un exceso eventualmente convergerán para impulsar el colapso en los precios de los activos. El gasto gubernamental, los impuestos, las mejoras de crédito y las regulaciones financieras o la falta de las mismas pueden atenuar o amplificar las causas de exceso y colapso basadas en el mercado. Las percepciones, decisiones y acciones de los agentes inteligentes son, por tanto, parámetros estocásticos endógenos a la economía financiera y real y a un número infinito de modelos de DSGE de juguete. La red de telefonía móvil solo tiene cierto ancho de banda. Los patrones estocásticos de uso de teléfonos celulares típicamente no utilizan todo el ancho de banda disponible. Un día, un terremoto golpeó la Costa Este. El uso estocástico aumentó cuando millones de personas intentaron llamarse entre sí para discutir el terremoto. Este evento de "cola gorda" usó todo el ancho de banda en la red de telefonía móvil. Los bancos y otros intermediarios financieros están diseñados para proporcionar crédito y flujos de efectivo a través de la expansión de los balances con precios de activos crecientes o estables. Esto se debe a que los activos son garantía para la deuda a largo plazo, por lo que cuando los activos caen, los prestatarios quedan en negativo en sus balances. Cuando todos los inversores quieren vender y pocos quieren comprar a medida que los precios de los activos colapsan, estos inputs de agentes inteligentes disruptivos desestabilizan la liquidez y la capacidad de generación de flujos de efectivo de los mercados crediticios y monetarios. Paradójicamente, las fuerzas de mercado sistémicas reducen y deshacen la capacidad de los balances cuando demasiadas unidades exigen liquidez al mismo tiempo, lo que es un evento de liquidez de "cola gorda".