expectativa condicional de la integral estocástica

Question

Dejar $M_t$ sea la siguiente integral estocástica

$$ M_t = \int_0^t \sigma_s dW_s $$

donde $\sigma_t$ es una función determinista suficientemente regular y $W_t$ es un proceso Wiener estándar (es decir $W_t \sim \mathcal{N}(0,t)$ con incrementos independientes).

Se puede demostrar que $M_t$ es martingala con distribución $M_t \sim \mathcal{N}(0, \Sigma_t)$ donde (isometría de Ito) he definido la varianza

$$ \Sigma_t = \int_0^t \sigma^2_s ds $$

¿Podría comprobar si las dos siguientes afirmaciones preliminares son ciertas (en todas partes $0 \leq s<t<T$ ):

1. $M_t$ tiene incrementos independientes, es decir $M_s$ es independiente de $M_t - M_s$ .

2. Covarianza: ${\mathbb E}[M_t M_s] = \Sigma_s$ .

Prueba de 2.: Si 1. se mantiene, se razona como en el caso de Wiener: \begin{align} {\mathbb E}[M_t M_s] &= {\mathbb E}[(M_t - M_s + M_s )M_s] \\ &= {\mathbb E}[(M_t - M_s)M_s] + {\mathbb E}[M^2_s] \\ &= {\mathbb E}[M_t - M_s] \cdot {\mathbb E}[M_s] + {\mathbb E}[M^2_s] \\ &= {\mathbb E}[M^2_s] \\ &= \Sigma_s \end{align}

Por último, mi pregunta: La expectativa condicional: $${\mathbb E}[M_t|W_T] = ?$$

Editar Soy consciente del resultado ${\mathbb E}[W_t|W_T]=\frac{t}{T}W_T$ utilizando el puente browniano.

Gracias por su amable atención.

Edición2 Esta pregunta tiene una continuación que también puede ser de interés: Regresión de la integral estocástica sobre el proceso de Wiener

Answer 1

¡Qué gran pregunta! He tenido un ir en él a continuación, yo diría que estoy cerca de 75% seguro del resultado que he llegado a, pero me encantaría comentarios de los demás.

Voy a utilizar la definición de la integral de Ito , \begin{align} \int^t_0 \sigma_s dW_s = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sigma_{t_{i-1}} \bigl( W_{t_i} - W_{t_{i-1}} \bigr) \end{align} donde $t_n = t$ .

Entonces, utilizando la expresión para el puente browniano que ha proporcionado anteriormente (y despreciando el $\lim_{n \to \infty}$ más abajo por brevedad) \begin{align} {\mathbb E}\bigl[M_t | W_T\bigr] &= {\mathbb E}\bigl[ \int^t_0 \sigma_s dW_s | W_T\bigr] \\ &= {\mathbb E}\bigl[ \ \sum_{i=1}^n \sigma_{t_{i-1}} \bigl( W_{t_i} - W_{t_{i-1}} \bigr) \ | W_T\bigr] \\ &= \sum_{i=1}^n \sigma_{t_{i-1}} {\mathbb E}\bigl[ \bigl( W_{t_i} - W_{t_{i-1}} \bigr) | W_T\bigr] \\ &= \sum_{i=1}^n \sigma_{t_{i-1}} \bigl( {\mathbb E}\bigl[ W_{t_i}| W_T\bigr] - {\mathbb E}\bigl[ W_{t_{i-1}} | W_T\bigr] \bigr) \\ &= \sum_{i=1}^n \sigma_{t_{i-1}} \bigl( {\frac {t_i} T}W_T - {\frac {t_{i-1}} T}W_T \bigr)\\ &= {\frac {W_T} T} \sum_{i=1}^n \sigma_{t_{i-1}} \bigl( {t_i} - {t_{i-1}} \bigr) \\ &= {\frac {W_T} T} \int_0^t \sigma_{s} ds\\ \end{align}

Como comprobación de cordura, podemos ver que la configuración de $\sigma_s = 1$ reproduce la expresión del puente browniano.

Answer 2

Sólo quería añadir a la gran respuesta de @StackG un enfoque diferente. Por favor, vuelva a comprobar mi solución también porque no estoy 100% seguro.

Dejemos que $\sigma_t$ sea lo suficientemente regular como para que $\dot{\sigma}_t \stackrel{def}{=}\frac{d \sigma}{dt}$ está bien definida. Entonces, el lema de Ito:

$$ d(\sigma_t W_t) = \dot{\sigma}_t W_t dt + \sigma_t dW_t $$

que en forma integral dice

$$ \sigma_t W_t = \int^t_0 \dot{\sigma}_s W_s ds + \int^t_0 \sigma_s dW_s $$

Tenemos entonces la representación

\begin{align} M_t & \stackrel{def}{=} \int^t_0 \sigma_s dW_s \\ &= \sigma_t W_t - \int^t_0 \dot{\sigma}_s W_s ds \end{align}

Por lo tanto, utilizando Fubini para intercambiar la integral con la expectativa, recordando que $\sigma_t$ es determinista, y que ${\mathbb E}[W_t|W_T] = \frac{t}{T} W_T$ podemos escribir la expectativa condicional solicitada como

\begin{align} {\mathbb E}[M_t|W_T] & \stackrel{def}{=} {\mathbb E}\left[\int^t_0 \sigma_s dW_s \bigg| W_T \right] \\ &= \sigma_t {\mathbb E}[W_t|W_T] - \int^t_0 \dot{\sigma}_s {\mathbb E}[W_s|W_T] ds \\ &= \sigma_t \frac{t}{T} W_T - \frac{W_T}{T} \int^t_0 \dot{\sigma}_s s ds \\ &= \sigma_t \frac{t}{T} W_T - \frac{W_T}{T} \left[ \sigma_t t - \int^t_0 \sigma_s \cdot 1 ds\right] \\ &= \frac{W_T}{T} \int^t_0 \sigma_s ds \end{align} donde se ha utilizado la integración por partes en la penúltima línea.