¿de dónde proviene el coste de la cobertura delta?

Question

Estoy leyendo el libro de John Hull, y estoy un poco confundido sobre la explicación relativa al coste de la cobertura delta.

Estos son los antecedentes: un instituto financiero está vendiendo opciones de compra con precio de ejercicio $K$ y está aplicando la cobertura delta ajustando el número de acciones compradas para cubrir el riesgo (de que el precio de las acciones supere $K$ ). Se espera que el coste de la cobertura sea el precio de la opción de compra calculado por el modelo Black-Scholes. La explicación del autor es que se debe a "comprar-alto, vender-bajo" al hacer el ajuste (como se cita más adelante, en la sección 19.4 "Cobertura Delta" de la 10ª edición).

El procedimiento de cobertura delta de las tablas 19.2 y 19.3 crea el equivalente a una posición larga en la opción. Esto neutraliza la posición corta que la institución financiera creó al suscribir la opción. Como ilustran las tablas, la cobertura delta de una posición corta implica generalmente la venta de acciones justo después de que el precio haya bajado y la compra de acciones justo después de que el precio haya subido. Se podría decir que es una estrategia de compra-alta y venta-baja. El coste medio de 240.000 dólares procede del valor actual de la diferencia entre el precio al que se compran las acciones y el precio al que se venden.

Pero si ajustamos el número en un intervalo de tiempo muy pequeño $\Delta t$ de tal manera que los precios de compra y venta son casi iguales, y además suponemos que el tipo de interés libre de riesgo es 0, ¿implicaría esto que casi no hay coste asociado a "comprar-alto, vender-bajo"?

Entiendo que el coste real proviene de la probabilidad de que el precio final de las acciones $S_T$ está por encima de $K$ en cuyo caso habrá una pérdida inevitable para el instituto financiero. No estoy seguro de si he entendido algo mal, ya que esto no es coherente con la explicación del autor.

Hágame saber lo que piensa.

Edición: ¡Gracias por todas las respuestas hasta ahora! Voy a explicar mi idea de manera más formal: sabemos que habrá pérdida esperada inevitable de vender una opción de compra siendo

$$\int_K^{\infty}(S_T-K)p(S_T)dS_T$$

que es exactamente la base del precio Black-Scholes. Esta pérdida está asociada a la probabilidad de que $S_T$ va por encima de $K$ . Si tenemos una pérdida adicional relacionada con "comprar-alto, vender-bajo" (debido al intervalo de tiempo finito cuando se cubre), entonces el coste total sería mayor que el precio Black-Scholes. Me pregunto si hay algún problema con este razonamiento.

Answer 1

En esta declaración Hull proporciona una teórico justificación del valor inicial $c$ de la opción. ¿Por qué? $c$ ¿Igual a un número concreto y no a otro? ¿Dónde está el $c$ ¿de dónde viene?

La opción por sí misma como dices es arriesgada porque su valor depende de la posibilidad de que el precio final de la acción $S_T$ está por encima de $K$ . (El idiota dice: por lo tanto no podemos dar un valor definitivo a $c$ depende de la función de utilidad (aversión al riesgo) del comprador y del vendedor. Pero el idiota se equivoca).

Como primer paso, Hull muestra que este riesgo puede eliminarse realizando una estrategia de cobertura dinámica, de la que proporciona todos los detalles. Bajo algunos supuestos estrictos, esta cobertura es perfecta y se elimina todo el riesgo (por supuesto, estamos trabajando en el ámbito de la teoría pura y en el mundo real los supuestos pueden no cumplirse, dando lugar a algún error de cobertura).

Como segundo paso, Hull se pregunta si esta cobertura es gratuita o tiene un coste. La respuesta es que tiene un coste, que se debe a "comprar caro y vender barato mientras se hace el ajuste". Calcula este coste matemáticamente y llega a un conclusión notable el valor esperado del coste es precisamente igual al valor Black Scholes de la opción $c$ .

Las implicaciones son:

(1) Ahora entendemos dónde $c$ proviene. Es el coste previsto para que el instituto financiero lleve a cabo la cobertura dinámica de la opción, ni más ni menos (de nuevo, esto es teoría: en la vida real el instituto cobrará un poco más a los compradores y dará un poco menos a los vendedores para obtener un beneficio, pero estamos descuidando estos costes de negociación por suposición).

(2) Podemos justificar $c$ en un sentido intelectual, como el "coste de fabricación" de dar existencia a una opción (que antes no existía) mediante el proceso de cobertura dinámica. Esto también justifica la existencia de intermediarios financieros como los coberturistas de opciones. Asumen la cantidad $c$ del comprador de la opción y pueden utilizar el gasto esta cantidad (en promedio) para producir la remuneración requerida al cliente. La fórmula de Black Scholes, que al principio parece ser el oscuro resultado de un nuevo y extraño cálculo inventado por un matemático japonés, se ve que tiene una interesante interpretación intuitiva. (¡Al menos, interesante para mí! A las personas prácticas no les importa la justificación intelectual, sólo quieren memorizar la fórmula de Black Scholes para aprobar el examen, si se les pide que la expliquen dirán "Se deriva del Cálculo de Ito").

Answer 2

Sin tener en cuenta el coste del capital para pedir prestado dinero para comprar las coberturas, y suponiendo una cobertura continua (sin error de cobertura), el coste proviene de su PnL realizado durante el tiempo de vida de sus coberturas ("comprar-alto, vender-bajo"). Por lo tanto, el Pnl de sus coberturas es estocástico, como es de esperar, ya que usted posee una acción. Si vende la opción, su PnL esperado de las coberturas después de entregar la acción al titular de la opción es negativo e igual a lo que ganó con la prima de la opción. Por lo tanto, el dinero que ganó con la venta de la opción es lo que espera perder con las coberturas.