Tipos estocásticos diferenciales del precio de los bonos

Question

Supongamos que el tipo corto sigue el proceso $$dr(t) = a(t, r(t))dt + \sigma(t, r(t))dW(t)$$

Si $B(t) = exp(-\int_0^t r(u) d u)$ ¿se puede seguir escribiendo el diferencial $dB(t)$ ¿a-la-Ito? Gracias.

Answer 1

Supongo que le interesa el precio del bono. Dejemos que $B_t=B(t,r_t)=\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\exp\left(-\int_t^T r_u\mathrm{d}u\right)\mid\mathcal{F}_t]$ sea el tiempo $t$ precio de un bono de cupón cero sin impago que vence en $T$ .

Esto es, por cierto, muy diferente a $\exp\left(-\int_0^t r(u)\mathrm{d}u\right)$ que se refiere a una cuenta del mercado monetario (cuenta bancaria, cuenta de ahorro) $M_t=\exp\left(\int_0^t r(u)\mathrm{d}u\right)$ , donde $\mathrm{d}M_t=r_tM_t\mathrm{d}t$ . ¡El precio del bono tiene que tener una expectativa en torno al exponencial! Recuerde que el precio del bono, en el momento $t$ es un número real, el valor de su cuenta bancaria en el momento $t$ ¡es una variable aleatoria!

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A priori, todo lo que se puede hacer con $B_t=B(t,r_t)$ es escribir \begin{align*} \mathrm{d}B_t = \underbrace{\left(\frac{\partial B_t}{\partial t} + a(t,r_t)\frac{\partial B_t}{\partial r_t}+\frac{1}{2}\sigma^2(t,r_t)\frac{\partial^2B_t}{\partial r_t^2}\right)}_{\mu_B(t,r_t)}\mathrm{d}t+\underbrace{\sigma(t,r_t)\frac{\partial B_t}{\partial r_t}}_{\sigma_B(t,r_t)}\mathrm{d}W_t \end{align*} Eso es lo que Lemma de Itô te da.

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Permítanme hacer dos observaciones:

• Utilizando una cobertura dinámica y la línea de argumentación de Black-Scholes, se puede encontrar una EDP de segundo orden para el precio del bono. Sin embargo, hay que tener cuidado porque el ``subyacente'', el tipo corto, no es un activo negociado.

• Muchos modelos populares de tipos cortos (por ejemplo, Vasicek, Hull-White, CIR) son modelos de estructura temporal afín (ATS), lo que significa que $B_t=e^{A_t+C_tr_t}$ , donde $A_t$ , $C_t$ son funciones deterministas del tiempo. Entonces, por supuesto, \begin{align*} \frac{\partial B_t}{\partial t} &= \left(\frac{\partial A_t}{\partial t}+\frac{\partial C_t}{\partial t}r_t\right)B_t \\ \frac{\partial B_t}{\partial r_t} &= C_tB_t,\\ \frac{\partial^2 B_t}{\partial r_t^2} &= C_t^2B_t. \end{align*} Esto permite simplificar la ecuación para $\mathrm{d}B_t$ , \begin{align*} \mathrm{d}B_t = \left(\frac{\partial A_t}{\partial t}+\frac{\partial C_t}{\partial t}r_t + a(t,r_t)C_t+\frac{1}{2}\sigma^2(t,r_t)C_t^2\right)B_t\mathrm{d}t+\Big(\sigma(t,r_t)C_t\Big)B_t\mathrm{d}W_t \end{align*}