Fechas y convenciones de los swaps de vencimiento constante

Question

Tomemos nota $L(t,T_i,T_{i+1})$ el tipo libor observado en $t$ fijando en $T_i$ con entrega en $T_{i+1}$ .

La fecha natural de entrega de esta tarifa es $T_{i+1}$ Por lo tanto, un intercambio de vainilla sin retraso de pago tendría un precio de :

$Swap(t) = \sum_{i=1}^{n} \tau (T_i,T_{i+1}) P(t,T_{i+1}) \mathop{\mathbb{E}} ^{i+1}\left[ (L(T_i,T_i,T_{i+1})-K) \right]$

con $\mathop{\mathbb{E}} ^{i+1}$ la expectativa bajo la medida a plazo asociada al bono $P(t,T_{i+1}) $

$\tau (T_i,T_{i+1}) = T_{i+1} - T_i$ para simplificar

Bajo la suma que utilizamos $P(t,T_{i+1}) $ para el recuento, ya que los pagos se producen en $T_{i+1} $ .

Para fijar el precio de un swap CMS, tenemos la expresión conocida para el tipo de swap :

$$s_{m,n}(t)=\frac{ P(t,T_m) - P(t,T_n)}{ A_{m,n}(t) }$$

con $A_{m,n}$ la anualidad dada por : $$A_{m,n}(t)= \sum_{i=1}^{n} \tau (T_i,T_{i+1}) P(t,T_{i+1})$$

ahora un swap CMS puede ser valorado como (Simplemente sustituyendo el tipo libor por el tipo swap de vencimiento constante) :

$SwapCMS(t) = \sum_{i=1}^{n} \tau (T_i,T_{?}) P(t,T_{?}) \mathop{\mathbb{E}} ^{?}\left[ (s_{m,n}(T_i)-K) \right]$

Pongo signos de interrogación en la fórmula porque aquí es donde estoy confundido. ¿Cuándo se entrega el tipo de cambio? ¿Me refiero a la fecha de pago natural para poder elegir el bono para el descuento y la medida a plazo necesaria? ¿O cuál es el descuento que debo utilizar y la medida a plazo en este caso y por qué?

Gracias

Answer 1

Para aligerar la notación, suponemos un factor de acumulación constante $\tau$ un tipo de cambio $S_n(T)$ que se fija en $T$ y paga a $T_p$ (por ejemplo $T_p-T=\text{3 months}$ ) y un simple pago de CMS de la forma: $$\Phi(S_n(T))=(S_n(T)-K)$$ fijado en el momento $T=T_m$ . Nos interesa la fijación de precios bajo una medida para la que el factor de riesgo subyacente de interés (es decir, el tipo de swap) es una martingala . Tenga en cuenta que: $$S_n(T)=\frac{1-P(T,T_n)}{A_n(T)}$$ La anualidad $A_n(T)$ es una cartera de activos negociados (bonos de cupón cero), por lo que es en sí misma un activo negociado que puede utilizarse como numéraire. Por lo tanto, al fijar el precio de los pagos de CMS trabajamos bajo la medida de la anualidad en lugar de una medida a plazo porque es la medida que hace que el tipo de swap sea una martingala y normalmente modelamos la dinámica del tipo de cambio directamente. Por lo tanto: $$\text{CMS Swap}(t)=A_n(t)\mathbb{E}^{A_n}\left[\frac{P(T,T_p)}{A_n(T)}(S_n(T)-K)\bigg|\mathscr{F}_t\right]$$ donde $P(T,T_p)$ tiene en cuenta el retraso entre la fecha de fijación y la fecha de pago del tipo de swap. El problema ahora es que tenemos una variable aleatoria compleja dentro de la expectativa. De hecho, nótese que el valor de la CMS depende en toda la curva de tipos de interés hasta $T$ debido al factor de anualidad $A_n(T)$ . Para fijar el precio de un pago de CMS, se suele seguir el siguiente método:

1. Definir un razonable (dos veces diferenciable) función de mapeo $f(\cdot)$ tal que: $$f(S_n(T))\approx\mathbb{E}^{A_n}\left[\frac{P(T,T_p)}{A_n(T)}\bigg| S_n(T)\right]$$ Esto simplifica el problema porque ahora se puede expresar el factor de anualidad como una función del tipo de cambio terminal solamente.
2. Viene eso: $$\text{CMS Swap}(t)\approx A_n(t)\mathbb{E}^{A_n}\left[g(S_n(T))|\mathscr{F}_t\right]$$ donde: $$g(S_n(T))=f(S_n(T))(S_n(T)-K)$$ A continuación, puede utilizar el técnica de replicación para fijar el precio de su pago de CMS.

Recomiendo echar un vistazo al artículo de Cedervall y Piterbarg "Full implications for CMS convexity" (2012, Riesgo ) para un debate detallado sobre los precios de los CMS.