Opciones dependientes de la trayectoria - ¿Qué modelo elegir?

Question

¿Puede alguien ayudar a elaborar/aclarar las siguientes afirmaciones? He oído hablar de ellos de la gente, pero me gustaría saber un poco más de detalle detrás de estas declaraciones..

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1) SABR no es útil para fijar el precio de las opciones dependientes de la trayectoria, como las swaptions bermudas, porque sólo modela la distribución terminal de los tipos a plazo.

(¿sólo significa que el modelo es SIMPLEMENTE no es lo suficientemente descriptivo (porque no tiene un parámetro de reversión media para describir los tipos de interés a plazo condicionales esperados).

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2) Los modelos de volatilidad local son útiles para fijar el precio de las opciones dependientes de la trayectoria porque proporcionan las volatilidades condicionales (locales) en cada nodo proyectado en el árbol, esto es aparte del hecho de que el modelo es más fácil de calibrar y de acertar con los precios del mercado de vainilla.

(de nuevo, dado que un modelo de vol local no es más que una versión más simple de un modelo de vol estocástico, ¿no puede un modelo de vol estocástico como SABR construir también un entramado/árbol de tasas proyectadas utilizadas para fijar el precio?)

Gracias

Davide

Answer 1

El marco SABR es realmente dos cosas

• Un modelo estocástico de los tipos de interés a plazo, que sin duda se presta a la simulación de Montecarlo
• Aproximaciones de alta velocidad razonablemente precisas de la distribución terminal y, por lo tanto, de los precios de las swaptions europeas

No hay ningún problema (en teoría) en aplicar Monte Carlo a un modelo SABR: basta con simular el proceso bidimensional

$$ dF = \sigma F^\beta dZ_1 \\ d\sigma = \alpha \sigma dZ_2 \\ <dZ_1,dZ_2> = \rho $$

con las advertencias habituales sobre el sesgo en la integración de Euler, etc.

El principal problema de esto en la práctica es que los usuarios de SABR emplean diferentes valores de $\alpha, \beta, \rho$ en diferentes horizontes temporales, calibrados con los precios observados de las swaptions para el correspondiente plazo. Eso no es un problema para las opciones vainilla, pero para los casos dependientes de la trayectoria ya no se sabe qué parámetros utilizar en los tenores más allá del horizonte más corto.

Digamos que tienes un conjunto de calibraciones de este tipo $$\alpha_{\tau_i}, \beta_{\tau_i}, \rho_{\tau_i}$$ para $i=1,\dots,N$ y alguna opción de tenor dependiente de la trayectoria $\tau_N$ . Cuando la simulación de la trayectoria está en el tiempo $t=\tau_1$ debería estar usando $\alpha_{\tau_1}$ o $\alpha_{\tau_N}$ ?

La primera hace que la dinámica de la trayectoria sea coherente con la información del mercado observada en ese momento, pero entonces discrepará de la distribución terminal de la segunda, lo que significa que las swaptions europeas tendrán un precio erróneo. La segunda es incoherente con la información del mercado en $t$ .

Lo que se desea es algo coherente con todas las observaciones del mercado en cada tenor. De este modo, se recuperarán todos los precios de las swaptions europeas y, sin embargo, también se podrán valorar las opciones dependientes de la trayectoria. Un modelo de vol. local es la forma más sencilla (estocástica) de conseguirlo.

Las swaptions de las Bermudas se valoran normalmente en cuadrículas y no mediante simulaciones de Montecarlo, pero los principios de consistencia siguen siendo los mismos.

Es es posible elegir un solo conjunto de $\alpha, \beta, \rho$ para describir el mercado lo más fielmente posible, lo que permite realizar simulaciones y cuadrículas coherentes, pero se verá que no se ajusta del todo bien a los precios del mercado.