Demostración de una identidad entre un par de procesos de Wiener correlacionados

Question

Supongamos que tenemos las siguientes ecuaciones diferenciales estocásticas subordinadas:

$dR(t)=\mu dt+\sigma (Y(t))dW_{1}(t)$

$dY(t)=f(Y)dt+g(Y)dW_{2}(t)$ ,

donde $W_i$ son procesos de Wiener estándar tales que $dW_{i}(t)=\xi _{i}(t)dt$ , $\xi _{i}(t)$ siendo el ruido blanco gaussiano de media cero con $ \left< \xi _i\left( t \right) \xi _i\left( t' \right) \right> =\delta \left( t-t' \right)$ y la correlación cruzada $\left< \xi _1\left( t \right) \xi _2\left( t' \right) \right> =\rho \delta \left( t-t' \right)$ .

Cómo demostrar rigurosamente que el proceso de Wiener correlacionado $W_1(t)$ y $W_2(t)$ satisface la identidad $dW_{1}(t)=\rho dW_{2}(t)+ \sqrt{1-\rho ^{2}}dW(t)$ , donde $dW(t)$ es un proceso Wiener independiente de $W_2(t)$ ?

Answer 1

Definir $W(t)=\frac{W_1(t)-\rho W_2(t)}{\sqrt{1-\rho^2}}$ y utilizar la caracterización de Levy del movimiento browniano.