Supongamos que el consumo del bien de la persona a $y$ impone una externalidad negativa a la persona b. El problema de maximización de la utilidad de la persona a es $$\max_{x_a,y_a} \ u_a(x_a,y_a),$$ con sujeción a $$p_x x_a+p_y y_a=e_a.$$ La condición de primer orden es $$\underbrace{\frac{\partial u_a}{\partial{y_a}}}_{\substack{\text{marginal} \\ \text{private} \\ \text{benefit}}}-\underbrace{\frac{p_y}{p_x}\frac{\partial u_a }{\partial x_a}}_{\substack{\text{marginal}\\ \text{private cost}}}=0.$$
El problema de maximización del bienestar social es $$\max_{x_a,\ y_a, \ x_b} \ u_a(x_a,y_a)+u_b(x_b,y_a),$$ con sujeción a $$\begin{align*} p_xx_a+p_yy_a&=e_a,\\ p_xx_b&=e_b. \end{align*}$$ La condición de primer orden es $$\underbrace{\frac{\partial u_a}{\partial y_a}}_{\substack{\text{marginal} \\ \text{private} \\ \text{benefit}}}-\underbrace{ \underbrace{\frac{p_y}{p_x}\frac{\partial u_a }{\partial x_a}}_{\substack{\text{marginal} \\ \text{private cost}}}\ \ + \underbrace{\frac{\partial u_b}{\partial y_a}}_{\substack{\text{marginal} \\ \text{external} \\ \text{cost}}}}_{\text{marginal social cost}}=0,\\\\$$ donde $\partial u_b/\partial y_a<0$ .
Un impuesto pigouviano óptimo debería llevar el equilibrio competitivo al óptimo social. Sin embargo, por alguna razón, cuando reescribo la restricción presupuestaria de la persona a como $p_x x_a+(p_y+t) y_a=e_a$ y establecer $t$ igual al coste marginal externo, no obtengo la condición de primer orden para el óptimo social cuando resuelvo de nuevo el problema de maximización de la utilidad de la persona a. ¿Qué estoy haciendo mal?
