Juego de Casas de Cambio - Juego Bayesiano

Question

¿Puede alguien ayudarme a entender cómo resolver este tipo de juego bayesiano de información asimétrica? El juego es una versión diferente de los "juegos de la casa comercial" de Tadelis. Se trata de 2 jugadores que poseen cada uno una casa. Cada jugador valora su propia casa en $v_i$ . El valor del jugador $i$ al otro jugador, es decir, al jugador $j \ne i$ es $\alpha v_i c$ donde $\alpha > 1$ . Cada jugador conoce el valor $v_i$ de su propia casa para sí mismo, pero no el valor de la casa del adversario. Ambos jugadores saben $\alpha$ . Los valores $v_i$ se distribuyen uniformemente en el intervalo [0, 1] y son independientes entre los jugadores.

Supongo que ese jugador $i$ aceptará el intercambio sólo si $v_i \leq \alpha v_j - c$ pero no sé cómo pasar de ahí a encontrar el equilibrio bayesiano de Nash y cómo asignar las probabilidades. ¿Se supone que debemos utilizar el valor esperado de $v_i$ a través de la distribución uniforme, es decir $E(v_i)=1/2$ ?

¡¡Estaría muy agradecido por alguna ayuda!!

Answer 1

El truco de los juegos bayesianos es reconocer que los jugadores aprenden en el equilibrio de las estrategias de los otros jugadores. Es decir, no se puede tomar simplemente la expectativa incondicional de $v_i$ al calcular las estrategias.

Por ejemplo, puedes tener la tentación de decir que ambos jugadores deciden comerciar cuando sea, $v_i\leq E(\alpha v_j-c)=0.5\alpha-c$ y $v_j\leq E(\alpha v_i - c)=0.5\alpha-c$ . Sin embargo, estas estrategias podrían no ser las mejores respuestas mutuas porque supongamos que el jugador $i$ cree que $j$ utilizará esa estrategia y asumirá que $0.5\alpha-c=0.8<1$ . Eso significa que el jugador $i$ no debe esperar $v_j$ sea mayor que $0.8$ Por lo tanto, una desviación rentable es operar siempre que $v_i\leq E(\alpha v_j-c| v_j\leq 0.8)= 0.4\alpha-c$ .

Un truco común para resolver estos juegos es suponer algo sobre cómo será el equilibrio y luego confirmar que efectivamente es así. Por ejemplo, dado el ejemplo anterior, no es descabellado pensar que los jugadores sólo comerciarán si $v_i\leq \bar v$ (por algún umbral que tendrá que caracterizar más adelante). También es razonable suponer que ambos jugadores utilizarán la misma estrategia, ya que se enfrentan a la misma incertidumbre subyacente y las valoraciones de las otras casas son simétricas.

Por lo tanto, debe ser ese jugador el que comercie siempre que $v_i\leq E(\alpha v_j-c | v_j\leq \bar v)= \alpha\frac{\bar v}2-c$ . Dado que suponemos que el umbral para negociar o no negociar es $\bar v$ Debe ser que $\bar v = \alpha\frac{\bar v}2-c$ lo que implica que $\bar v=\frac{c}{\left(\frac{\alpha}{2}-1\right)}$ . Esto significa que (suponiendo que $c>0$ ), $\alpha$ debe ser estrictamente mayor que 2 para que exista algún comercio ya que $\bar v <0$ significa que los jugadores nunca cambiarán, y si $\bar v>1$ entonces el comercio siempre se produce.