La cartera de media-varianza devuelve ponderaciones ilógicas

Question

Tengo un conjunto de datos con 5 activos.

Aplico la cartera de media-varianza:

  In<-rep(1,5) #identity vector
  delta <- 5 #risk aversion parameter
  covariance<-cov(sample.data) #covariance matrix
  mu <- colMeans(sample.data) #mean returns
  mu <- t(t(mu))

  #I calculate the standard mean-variance weights: 
  xt <- 1/delta* solve(covariance) %*% mu 
  m.w <- as.vector(xt) / In %*% xt %*% t(In)

Mi problema es que a veces puede ocurrir que el denominador: In %*% xt #%*% t(In) es un número negativo.

Tomemos el siguiente ejemplo con 5 activos:

Mean returns: 6, 6, 1, 1, 1
Standard deviation of returns: 1, 1, 1, 1, 1

Las carteras con una media de 6 son claramente superiores, pero el cálculo de la media-varianza a veces acaba poniendo grandes pesos negativos en los mejores activos.

Esto sucede por la siguiente razón:

Calculando xt resultados en:

5.264789 6.134487 -5.267289 -3.337918 -2.79493

El denominador ( In %*% xt #%*% t(In) ) es:

-0.0008615427 -0.0008615427 -0.0008615427 -0.0008615427 -0.0008615427

Como este denominador es negativo y un número realmente pequeño, los pesos finales acaban siendo:

-6110.886 -7120.352 6113.787 3874.351 3244.1

Está claro que debería ser al revés.

¿Qué me falta?

EDIT: noob2 sugirió que el problema podría ser que la matriz de covarianza es ligeramente definida negativa, pero no lo es:

> eigen(covariance)
$values
[1] 4.90387493 0.12627889 0.11649928 0.09035977 0.07858112

$vectors
           [,1]       [,2]       [,3]        [,4]        [,5]
[1,] -0.4529396  0.7235119 -0.1188464 -0.01716486 -0.50690946
[2,] -0.4664390 -0.2146771 -0.1914489 -0.81623850  0.18289445
[3,] -0.4511018 -0.6111482 -0.3089085  0.39903609 -0.41030564
[4,] -0.4289843  0.2157315 -0.2459586  0.41078039  0.73498045
[5,] -0.4356145 -0.1019909  0.8906754  0.07409282  0.03233327

Aquí hay algunos datos de ejemplo con las propiedades descritas anteriormente:

https://www.dropbox.com/s/t3212c5sq7w1uug/example.Rdata?dl=0

Answer 1

Aquí hay un par de posibilidades. En primer lugar, cualquier cartera "eficiente" creada mediante este algoritmo puede estar siempre dominada estocásticamente, lo que implica, por supuesto, que es imposible que sea la frontera eficiente. Este es un defecto bien conocido del modelo. De hecho, se puede demostrar, sabiendo sólo eso, que el CAPM es un modelo estadísticamente inválido en todas las circunstancias. La mayoría de la gente no tiene suficientes fundamentos estadísticos para saber eso. Utilizando teoremas básicos de estadística, es posible demostrar que las especificaciones del modelo son siempre inválidas.

La segunda es que la media y la desviación estándar implícitas de sus datos se clasifican de tal manera que las acciones de bajo riesgo pueden obtener una alta rentabilidad y las de alto riesgo, una baja. Su ejemplo específico siempre provocaría el fracaso de un CAPM porque hay un requisito implícito de ordenación simple en el algoritmo. Su ejemplo vincula las varianzas, lo que viola un orden simple. Su ejemplo, si el CAPM fuera correcto, sería imposible. Un error en la tasa libre de riesgo también violaría este ordenamiento.

También hay un documento reciente que deriva la distribución real de todas las clases de activos. La distribución, tanto en forma bruta como en forma logarítmica, no tiene matriz de covarianza. Los activos pueden moverse conjuntamente, pero violarán la definición de covarianza.

Esto implica que la estructura de covarianza de la que depende el modelo no puede darse matemáticamente, lo que en parte explica la dominancia estocástica empírica observada en el mundo real.

En 1963, Benoit Mandelbrot demostró que el CAPM no podía ser cierto, empíricamente, pero esa afirmación nunca se ha mantenido porque nadie pudo averiguar por qué sus observaciones debían ocurrir. Ahora que se conoce la distribución, es obvio por qué sucedieron sus observaciones.

Puedes empezar con el artículo original de Mandelbrot. The Variation of Certain Speculative Prices, Benoit Mandelbrot, The Journal of Business, Vol. 36, No. 4 (Oct., 1963), pp. 394-419

Answer 2

Esto significa probablemente que la tasa libre de riesgo es demasiado alta. Si el tipo libre de riesgo es mayor que la rentabilidad esperada de la cartera de varianza mínima, el algoritmo se rompe y acabas teniendo una cartera óptimamente ineficiente en lugar de una cartera óptimamente eficiente.