Lema de Ito para la valoración de opciones con deriva estable Levy-alfa

Question

Considere

$$dS=\omega\left(\Lambda-S\right)dt+\sigma_S S dW_t,$$

tal que tal que $W_t$ es un proceso Wiener, $\sigma_S$ es constante, $\omega: t\rightarrow\mathbb{R}$ representa la deriva anticipada y es un proceso estable y $\Lambda:t\rightarrow\mathbb{R}^+$ es determinista. Numéricamente, la forma discreta es

$$S_{t+\Delta t}=\Delta t\left(\sigma_S S_t\xi_t+(\zeta_t\Delta t+\omega_t)(\Lambda-S_t)\right)+S_t$$

donde $\zeta\sim\mathcal{S}(\alpha,0,c,0)$ es Lévy alfa-estable distribuido . Obsérvese que la función característica de $\zeta_t$ es

$$\varphi=e^{-\left|ct\right|^{\alpha}}.$$

Así, cuando $\alpha=1$ tenemos la distribución de Cauchy. ¿Existe una versión convenientemente modificada del lema de Ito para el valor $dV(t,S_t)$ de una opción $V(t,S_t$ )?

Answer 1

Por definición, su $S$ es un proceso continuo y $$ d\langle S\rangle_t=\sigma_S^2\,S_t^2\,dt\,. $$ La fórmula Ito aplicable es la tradicional $$ dV(t,S_t)=\partial_tV(t,S_t)\,dt+\partial_SV(t,S_t)\,dS_t+\frac{1}{2}\partial^2_SV(t,S_t)\,d\langle S\rangle_t\,. $$ Ahora introduzca su expresión para $dS_t\,.$