Linealización logarítmica de la dinámica tecnológica

Question

Sigo con los modelos DSGE y con la log-linealización de las ecuaciones características del modelo. El que más dudas me crea es el shock tecnológico, que se suele modelar como un AR(1).

Normalmente, se nos dan procesos tecnológicos como \begin{gather} \ln(z_t)=(1-\rho) \ln(\bar z)+\rho \ln(z_{t-1})+\epsilon_t \end{gather} por lo que ya es lineal y podemos reescribirlo en desviaciones del estado estacionario simplemente moviendo $\ln(\bar z)$ en ambos lados de la ecuación, obteniendo \begin{gather} \hat z_t=\rho \hat z_{t-1}+\epsilon_t \end{gather} donde las variables del sombrero son desviaciones logarítmicas del estado estacionario.

Pero cuando el proceso es algo así como \begin{gather} \ln(z_t)=(1-\rho) (\bar z)+\rho \ln(z_{t-1})+\epsilon_t \end{gather} ¿Cómo debo proceder? Lo que no puedo entender es cómo se debe utilizar la linealización logarítmica, teniendo en cuenta que $\epsilon_t$ es un proceso de ruido blanco. Me refiero a que aplicando los registros y diferenciando me da algo que no entiendo.

Answer 1

El proceso de choque ya es lineal. Cualquier linealización logarítmica dará lugar a una expresión idéntica. El proceso de choque no lineal subyacente puede ser algo así:$

$$ Z_t = Z^{(1-\rho)} Z_{t-1} e^{\epsilon_{t}}$$

Esto cuando se linealiza, se obtienen los procesos de choque lineales.