¿Cuál es la intuición detrás de los "saltos" que causan el sesgo de la volatilidad?

Question

Algunos modelos utilizan los saltos como forma de explicar el sesgo de la volatilidad. Entiendo que si los saltos existen, entonces estás "mal cubierto" ya que no puedes cubrirte continuamente. Las opciones tienen un componente gamma y estar corto en una opción significa que puedes perder más en la opción ya que estarás más largo/corto que tu cartera de réplica durante un salto.

Sin embargo, eso en sí mismo no debería explicar el sesgo, ¿correcto? Todas las opciones tienen algo de gamma y las opciones ATM son las que más gamma tienen. Entonces, ¿qué es lo que hace que las opciones del ala tengan más IV? Me imagino que un movimiento de 2SD durante el cierre del mercado lleva a una mayor pérdida en una opción de 50 delta que en una opción de 1 delta.

Gracias

Answer 1

Los saltos son un intento de resolver un error matemático de la Teoría Moderna de la Cartera. En la década de 19502-70, los economistas trabajaban en la resolución del equilibrio entre la varianza y la media. Además, tenían que hacerlo con la computación de tarjetas perforadas. Eso restringía radicalmente el conjunto de soluciones potenciales computables. Tanto la distribución normal como la logarítmica normal se pueden calcular con tarjetas perforadas.

Sin embargo, hay dos problemas. El primero es uno que la mayoría de los economistas desconocen. En 1958, un matemático llamado John White demostró que no hay solución a una ecuación de la forma $w_{t+1}=Rw_t+\epsilon_{t+1},R>1$ en la estadística frecuencial. Por supuesto, usted no invertiría dinero si $R\le{1}$ . Volveremos sobre esto. La segunda es que Mandelbrot, a partir de 1963, empezó a publicar artículos en los que decía que los rendimientos tenían colas pesadas y que no podían proceder de una distribución con varianza. En otras palabras, no hay compensación entre la varianza y la media porque el primer momento central no existe.

Si nos remontamos a los años sesenta y setenta, con sus discusiones sobre las colas pesadas y los resultados de los trabajos de Fama-MacBeth que excluían el CAPM de la ciencia empírica, había que hacer una especie de elección. Abrazar las distribuciones sin media y para las que no había ningún soporte matemático en el que los economistas pudieran trabajar, o decidir para la realidad que hay una media y simplemente añadir saltos para intentar cubrir los grandes desplazamientos. Esa matemática era fácilmente manejable.

Fue una elección desafortunada. Lo que lo hace desafortunado es que la distribución de los rendimientos es $$R_{total}=R_G\times{\Pr(G)}+R_M\times{\Pr(M)}+0\times{\Pr(B)}+R_D\times{\Pr(D)}-R_L,$$ donde $G$ denota una empresa en funcionamiento, $M$ indica las fusiones, $B$ denota la quiebra, $D$ denota los dividendos y $L$ denota el rendimiento perdido por los costes de liquidez. La distribución de $R_G$ es $$\left[\frac{\pi}{2}+\tan\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}\frac{\sigma}{\sigma^2+(R_G-\mu)^2}.$$

Volviendo a White, de antes, su prueba era que la distribución de muestreo del estimador de la pendiente era la distribución de Cauchy. Los modelos como el Black-Scholes se basan en el cálculo de Ito o de Stratonovich. Ambos asumen que todos los parámetros son conocidos. Como tal, es un modelo construido sobre parámetros. Si no los conocieras, no podrías construir modelos sobre ellos. En su lugar, los habrías construido sobre estadísticas suficientes. Como las estadísticas suficientes son independientes del parámetro, no harías referencia al parámetro.

Por lo tanto, modelos como el Black-Scholes son válidos si se conocen los parámetros, pero no son válidos, según White y un artículo posterior de generalización de Sen, si los parámetros son desconocidos. No puede existir una solución frecuencial para modelos como el CAPM o el Black-Scholes, ya que se sabe que es imposible a menos que se utilicen herramientas no basadas en la media y la varianza.

Eso abre la posibilidad de una solución bayesiana, salvo que la solución bayesiana acaba por no tener ni media ni varianza porque los resultados no salen igual. Eso debería servir también como una profunda advertencia.

Todos los estimadores bayesianos son estimadores admisibles. Los estimadores frecuentistas sólo son admisibles en dos casos. El primero es que la solución bayesiana y la frecuentista sean iguales para cada muestra. El segundo es que la solución frecuentista coincida con la solución bayesiana en el límite. Por eso $\bar{x}$ es una solución admisible para estimar $\mu$ para la distribución normal pero $\frac{\sum(\sin(x_i))}{n-33}$ no lo es.

Aunque los estimadores frecuenciales no tienen por qué ser admisibles y a veces no lo son, cuando no lo son, debería haber una investigación. Podría ser que el modelo se haya derivado incorrectamente.

El sesgo en la volatilidad es un artefacto del algoritmo. Considere, en cambio, para los rendimientos en lugar de los precios de las opciones, ya que es más simple de discutir, donde los rendimientos son $R=\frac{FV}{PV}-1,$ un algoritmo como $$\Pr(\sigma|X,\mu)=\int_{-1}^\infty\frac{\prod_{i=1}^I\left[\frac{\pi}{2}+\tan\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}\frac{\sigma}{\sigma^2+(x_i-\mu)^2}\times{1}}{\int_{-1}^\infty\int_0^\infty\prod_{i=1}^I\left[\frac{\pi}{2}+\tan\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}\frac{\sigma}{\sigma^2+(x_i-\mu)^2}\times{1}\mathrm{d}\mu\mathrm{d}\sigma}\mathrm{d}\mu,\forall\sigma\in\Re^{++}.$$

Habrá una pequeña cantidad natural de sesgo porque la distribución debería converger a la distribución de la relación de desviación estándar, pero será pequeña. Está relacionado con la distribución F de Snecdor.

Tenga en cuenta que he multiplicado por $1$ y realmente no debería haberlo hecho. Existen buenas priorizaciones para esto, pero no he querido imponer una priorización, ya que deberías usar la tuya propia.

El sesgo de la volatilidad es un artefacto de la herramienta utilizada para medirla y el hecho de que existe un teorema de inexistencia en torno a los modelos Ito.

Answer 2

En realidad, no creo que sea cierto. Los saltos, cuando se añaden a la dinámica de Black-Scholes (BS), sí modifican la superficie de volatilidad. Sin embargo, el sesgo de la volatilidad puede invertirse: la volatilidad implícita en el BS puede ser mayor cuando el strike está más cerca del valor actual $S(0)$ del activo subyacente $S$ .

Consideremos un ejemplo idealizado: $$ \log(S(t+dt) / S(t)) ={\rm[normal\ variable\ with\ infinitesimally\ small\ volatility]} \pm 0.1 * {\rm Poisson}(3 * dt). $$

El segundo término son los saltos. Consideremos un opción binaria one touch $C$ con huelga $K$ y la expiración $dt$ . Esta opción paga 1$ si el precio del subyacente $S(t)$ toca la huelga. Considerar la cartera $P = (1/dt $ unidades de $C)$ . Entonces, si la huelga $K$ se cae fuera $[S(0)e^{-0.1}, S(0)e^{+0.1}]$ el verdadero precio de la cartera $P$ converge a 0 cuando $dt$ converge a 0. Por otro lado, si strike $K\in [S(0)e^{-0.1}, S(0)e^{+0.1}]$ el verdadero precio de la cartera $P$ se queda por aquí $3 * \$ 1$ como $dt$ converge a 0.

La volatilidad implícita en el modelo Black-Scholes tiene que compensar este fenómeno (como $dt$ converge a 0). Cuando $K$ se mueve de $0$ en $[S(0)e^{-0.1}, S(0)e^{+0.1}]$ la volatilidad implícita salta de 0 a un valor positivo. Asimismo, cuando $K$ se va $[S(0)e^{-0.1}, S(0)e^{+0.1}]$ de camino a $+\infty$ la volatilidad implícita pasa de un valor positivo a 0.

Answer 3

Los saltos sí no implican colas gordas. Véase la simulación en R. Obsérvese que el exceso de curtosis de [variable normal + salto] es negativo.

> set.seed(1)
> Normal_Variable <- rnorm(1e8)
> kurtosis(Normal_Variable)
[1] -0.000628316
> Jump <- 2 * ((runif(1e8) < 0.5) * 2 - 1)
> kurtosis(Normal_Variable + Jump)
[1] -1.280009

Answer 4

El argumento dado en el OP no me convence. Sí, la gamma en dólares de las opciones ATM es la más grande. Pero también lo es la Vega. Por lo tanto, la cantidad de aumento de la volatilidad implícita necesaria para compensar no está clara.

Para mí, la intuición es simplemente que salta-> la distribución de los retornos logarítmicos tiene colas gordas en relación con una distribución normal. Y entonces es un hecho mecánico que la forma de BS IV tiene una sonrisa con OTM opción vol > ATM opción vol.

[editar]. Sin embargo, @stans demuestra que la presencia de saltos no es suficiente para proporcionar colas gordas. En la práctica, un salto en el mercado suele ir acompañado de un aumento de la volatilidad implícita, lo que sí aumentaría el valor relativo de las opciones otm. Así que depende del tipo de salto que se especifique.