Sí, si se asume que las funciones de subutilidad son cóncavas. Obsérvese que se trata de una suposición estándar, ya que, de lo contrario, la función de utilidad $u = \sum_i f_i$ no se garantiza que sea cóncava (ni cuasi-cóncava).
Denotemos por $u_i = \dfrac{\partial u}{\partial x_i}$ y por $u_{i,j} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}$ . Por aditividad $u_{i,j} = 0$ si $i \ne j$ .
Las condiciones de primer orden para el problema de maximización de la utilidad dan: $$ \begin{align*} u_i = \lambda p_i, \tag{1}\\ \sum_i p_i x_i = m \tag{2} \end{align*} $$ Diferenciando ambos con respecto a los ingresos $m$ (y utilizando $u_{i,j} = 0$ ) da:
$$ \begin{align*} &u_{ii} \frac{\partial x_i}{\partial m} = p_i \frac{\partial \lambda}{\partial m} \tag{3}\\ &\sum_i p_i \frac{\partial x_i}{\partial m} = 1 \tag{4} \end{align*} $$ Sustituir $(3$ ) en $(4)$ : $$ \begin{align*} &\sum_i (p_i)^2 \frac{\partial \lambda}{\partial m} \frac{1}{u_{ii}} = 1,\\ \to &\frac{\partial \lambda}{\partial m} = \frac{1}{\sum_i \frac{(p_i)^2}{u_{ii}}} \tag{5} \end{align*} $$ Observe que $u_{ii} < 0$ por la concavidad de las funciones de subutilidad. Así, $\frac{\partial \lambda}{\partial m} < 0$ y también, por $(3)$ : $$ \frac{\partial x_i}{\partial m} = p_i \frac{1}{u_{ii}} \frac{\partial \lambda}{\partial m} > 0 $$ ya que el lado derecho es el producto de dos números negativos.
Esto demuestra que $x_i$ es un bien normal. Por simetría, esto es válido para todos los bienes.
Una forma alternativa más rápida de notar esto es ver que
- por $(3)$ el signo de $\dfrac{\partial x_i}{\partial m}$ será la inversa del signo de $\dfrac{\partial \lambda}{\partial m}$ .
- Esto tiene que ser cierto para todos los bienes, lo que significa que, o bien todos los bienes son normales, o bien todos los bienes son inferiores.
- Desde $(4)$ se deduce que al menos un bien debe ser normal (ya que de lo contrario la suma no puede ser igual a 1, que es mayor que cero).
- Concluir que todos los bienes tienen que ser normales.
