¿Acaso la regla de extensión de Pareto invalida el teorema unificado de elección social de Eliaz (2004)?

Question

Eliaz (2004) utiliza agregadores sociales para proporcionar un "meta-teorema" único del que se derivan como corolarios Arrow y Gibbard-Satterthwaite. Define los agregadores sociales de la siguiente manera. Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todas las n-uplas de ordenamientos lineales (por lo tanto estrictos) sobre los elementos del conjunto $X$, donde $|X| \geq 3$, y $\mathbf{R}$ un conjunto de relaciones binarias sobre $X$. Un agregador social es una función $F: \mathcal{P} \rightarrow \mathbf{R}$. Una función de bienestar social es un agregador social que cumple con aciclicidad, completitud, y existencia de una mejor alternativa; una función de elección social requiere más trabajo para ser definida, pero en resumen, la completitud solo se requiere para al menos una alternativa que esté socialmente clasificada al menos tan alta como todas las demás.

Luego, Eliaz demuestra que ningún agregador social no dictatorial puede cumplir con aciclicidad, existencia de una mejor alternativa, eficiencia débil de Pareto y "reversión de preferencias", que básicamente es un requisito de independencia por el cual una reversión de la relación social debe seguir la misma reversión en las preferencias de un individuo. Luego demuestra que todas las condiciones en Arrow y Gibbard-Satterthwaite siguen de las condiciones anteriores, que son solo casos especiales del meta-teorema general.

Tengo dos preguntas clave:

1. ¿Para ser una función de bienestar social à la Arrow, no necesitamos más que solo aciclicidad - en particular, transitividad? ¿Es correcto que lo que Eliaz llama una función de bienestar social, en realidad es una función de decisión social?

2. Si es así, ¿no es la regla de extensión de Pareto de Sen (1969) un contraejemplo al meta-teorema? Para ordenamientos individuales estrictos, la regla de extensión de Pareto funciona de la siguiente manera: todos los perfiles conflictivos (es decir, todos aquellos perfiles en los que hay dos $x,y \in X$ y dos $i,j \in N$, $N$ siendo el conjunto de individuos, tal que $xP_i y$ y $yP_j x$), entonces $xRy$ y $yRx$, $R$ siendo la relación social. En otras palabras, la regla de extensión de Pareto resuelve todos los conflictos mediante empates. Esta regla debería cumplir con todas las condiciones impuestas por Eliaz: aciclicidad (en realidad es cuasi-transitiva, una condición más fuerte), existencia de una mejor alternativa, no dictadura, independencia (subsumida por la reversión de preferencias), y claramente, eficiencia débil de Pareto.

Answer 1

La aciclicidad, tal como la define Eliaz, es simplemente la condición en la que los valores de un agregador social son transitivos. Es diferente de la condición usual de aciclicidad según la cual una relación es acíclica si y solo si tiene un cierre transitivo irreflexivo. La formulación de Eliaz es un poco críptica, pero de hecho muestra en su Observación 1 que su aciclicidad implica transitividad. La conversión también es fácil; los detalles simples están a continuación. El resultado de la regla de extensión de Pareto no necesita ser necesariamente transitivo.

Formalmente, la aciclicidad, tal como la define Eliaz, dice que para todo $R\in\mathbf{R}$ y para cada tres alternativas $a$, $b$ y $c$ en $A$, si $aRb$ y $\neg(cRb)$, entonces $\neg(cRa)$.

Pero la condición de que para cada tres alternativas $a$, $b$ y $c$ en $A$, si $aRb$ y $\neg(cRb)$, entonces $\neg(cRa)$ es simplemente la transitividad de $R$, formulada de una manera un poco extraña pero equivalente.

Aquí está la prueba simple: Supongamos que $R$ es transitivo y $aRb$ y $\neg(cRb)$. Si fuera el caso que $cRa$, entonces $cRb$ por transitividad, lo que contradice la suposición. Para la otra dirección, supongamos que la condición se cumple y que $cRa$ y $cRb$. Queremos mostrar que $cRb$. De hecho, si no, entonces por la condición $\neg(cRa)$, lo que contradice la suposición.