Tengo problemas para entender completamente la definición matemática de la no saturación. A continuación he expuesto la definición de la Wikipedia. Sería genial si alguien puede explicar gráficamente.
Formalmente, si $X$ es el conjunto de consumo, entonces para cualquier $x \in X$ y cada $\varepsilon > 0$ existe $y \in X$ tal que $||y-x|| \leq \varepsilon$ y $y$ es preferible a $x$ .
El artículo de la Wikipedia lo muestra gráficamente. Pero aquí se omite la parte importante: "La propiedad de la no relación local de las preferencias de los consumidores establece que para cualquier conjunto de bienes siempre hay otro conjunto de bienes arbitrariamente cercano que es preferido a él". Esta es la afirmación que quieres conectar con las matemáticas.
¿Cómo se relaciona esto? Vayamos poco a poco. Consulte el gráfico de la página de Wikipedia cuando sea necesario.
- "para cualquier conjunto de bienes" significa "elegir cualquier conjunto $x \in X$ donde X es la casilla del gráfico de Wikipedia.
- "acercarse arbitrariamente" significa "elegir cualquier $\epsilon > 0, \epsilon \in \mathbb{R}$ ". Por lo tanto, escoge cualquier número real no nulo tan pequeño o tan grande como quieras.
- "siempre hay otro paquete de bienes arbitrariamente cercano" significa "dado $x$ y $\epsilon$ siempre puedes encontrar un paquete $y \in X$ que está a una distancia $\epsilon$ de $x%$ ." Esto se expresa como $||y-x|| \le \epsilon$ .
- "es preferible a ella" significa que para cualquier función de utilidad $U(x)$ tenemos $U(y) > U(x)$ .
En conjunto, la "no saciedad" significa que (sin una restricción presupuestaria) un agente no puede "estar nunca satisfecho" porque no importa el paquete de bienes que tenga ( $x$ ) siempre hay un $y$ que produce una mayor utilidad. "Local" significa que $y$ y $x$ pueden ser muy similares (es decir, arbitrariamente cercanas entre sí en $X$ ).
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¿Qué parte exactamente le causa dificultades? Cualquier explicación repite de algún modo la definición.
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No soy capaz de entender del todo cómo la parte que dice |y-x|< epsilon está relacionada con la definición. Además, si nos dan una función, digamos, F(u,v) = uv. ¿Cómo demostramos matemáticamente si es localmente no saturada o no?