Cuál es la ecuación $\mathbb{E}[mR]=1$ ?

Question

Acabo de entrar en este sitio de Stack Exchange y estaba leyendo la siguiente pregunta: ¿Cuáles son las ecuaciones fundamentales de la economía? . He visto un par de veces la siguiente ecuación en ese post:

$$\mathbb{E}[mR]=1$$

Tengo una cierta idea de lo que puede significar, pero ¿podría alguien explicar su significado (o al menos qué hacen $m$ y $R$ ¿pretende? Es difícil buscar en Google si no sé qué son estas dos cantidades).

Además, ¿es la expectativa $\mathbb{E}[\cdot]$ ¿tomada con respecto a cualquier medida de probabilidad particular, o simplemente con respecto a la medida del mundo real?

PS: Pido disculpas si las etiquetas no se ajustan bien a la pregunta, he intentado adivinar con qué podría estar relacionada esta ecuación.

Answer 1

Se trata de un resultado importante en economía financiera (fijación de precios de los activos), pero no es trivial explicarlo de forma intuitiva. Hago todo lo posible por ofrecerte una visión general y que puedas empezar a investigar.

R es el rendimiento de un activo o una cartera . Cualquier activo o cartera.

m es el factor de descuento estocástico o núcleo de precios .

La expectativa aquí es más posibles estados del mundo información dada en el momento t (m y R son a partir de t+1).

Se trata de probabilidades físicas, no neutrales al riesgo. De hecho, un factor de descuento estocástico (positivo) es lo que se utiliza para traducir las probabilidades físicas en probabilidades neutrales al riesgo . En un caso discreto, la probabilidad neutra de riesgo es la tasa libre de riesgo por la probabilidad física por el valor del factor de descuento estocástico en ese estado.

El factor de descuento estocástico toma un valor diferente para cada estado posible del mundo (ese es el sentido en el que es estocástico). Pero no cambia para cada activo diferente. Si existe, se puede aplicar un factor de descuento estocástico a todos los activos de la economía y fijar su precio correctamente.

Datos sobre el SDF:

• La existencia de dicho factor equivale a la ley del precio único que se mantiene.
• Si siempre es positivo, no hay oportunidades de arbitraje en los mercados financieros .
• Si y sólo si los mercados están completos entonces el factor de descuento estocástico es único.
• La expectativa del SDF es la tasa libre de riesgo

Hay muchos usos teóricos de esta relación e importantes resultados relacionados -muchos resultados fundamentales en finanzas pueden interpretarse en un contexto de FDS, aunque muchos de esos resultados surgieron antes del desarrollo de la teoría del FDS. Para muchas funciones de utilidad comunes podemos derivar teóricamente la forma de la FDS para un agente representativo.

Lo siento si mi respuesta no es súper accesible. La ecuación es sencilla, pero la teoría del factor de descuento estocástico puede ser un poco opaca.

Recursos para considerar la lectura:

El capítulo de Cochrane y Culp en Gestión moderna de riesgos: Una historia

Teoría de los precios de los activos y de la elección de carteras por Kerry Back

Answer 2

$(mR) =1$ es una versión particular de la condición/relación general de equilibrio intertemporal a largo plazo

$$\text{One-period discount factor}\times \text{Gross Interest rate factor} = 1$$

$R$ es el factor de tipo de interés bruto $R=1+r$ donde $r$ es el tipo de interés real. El "factor de descuento" puede adoptar distintas formas según la formulación exacta de cada modelo. En el caso más sencillo, es una constante que expresa el hecho observado de que las personas intrínsecamente prefieren el presente al futuro, por lo que "descuentan" el consumo futuro (nota: esto es no un indicador de la existencia de incertidumbre, el descuento del futuro existe incluso en un entorno determinista).

El operador de valor esperado $E$ se utiliza cuando el modelo es estocástico.

En un entorno de maximización intertemporal de un aditivamente separable función de utilidad, esta es la condición para un equilibrio de estado estacionario impuesta en la "ecuación de Euler" que a su vez surge como una condición necesaria de primer orden para el problema de optimización recursiva.

Answer 3

Gracias @farnsy por tu explicación y referencias, en particular la de Cochrane & Culp $-$ ecuaciones $(2)$ y $(3)$ en la página 61.

Al estar más familiarizado con los tecnicismos de las finanzas cuantitativas, puedo dar la siguiente interpretación del factor de descuento estocástico $m_t$ (SDF). Definir el SDF numéraire :

$$ \forall \, t \in [s,T], \ N_t = \frac{u'(C_s)}{\beta \, u'(C_t)}=\frac{1}{m_t}$$

El precio $P_t$ de la demanda con pago $X_T$ en el momento $T$ puede interpretarse como la expectativa respecto a la medida de probabilidad del mundo real $\mathbb{P}$ del pago descontado por el SDF numéraire:

$$ P_t = \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\frac{X_T}{N_T}|\mathcal{F}_t\right]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[m_TX_T|\mathcal{F}_t\right]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\beta \frac{u'(C_T)}{u'(C_t)}X_T|\mathcal{F}_t\right]$$

donde $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ es una filtración, es decir representa la información de que dispone el agente en el momento $t$ .