Cómo entender la compatibilidad entre los pagos de dividendos discretos y continuos

Question

Sabemos que una acción tiene pagos de dividendos discretos $D_i$ en $t_i$ En la fijación del precio de un contrato a plazo, calcularemos los flujos de caja descontados $$\sum e^{-rt_i}D_i$$ entonces menos la suma de los flujos de caja descontados del tiempo al contado $S_0.$

Y si las acciones tienen una tasa de pago de dividendos continua $D,$ tenemos el precio a futuro $$e^{-DT}S_0 - e^{-rT}K.$$ Entonces, ¿cómo entender $e^{-DT}S_0$ es lo mismo que $S_0 - \sum e^{-rt_i}D_i$ es decir, el precio al contado menos los flujos de caja descontados del dividendo. O cuando $\Delta t = t_{i+1} - t_i\rightarrow 0$ cómo obtener el resultado compatible.

Supongamos que pagamos la tasa de dividendos $\alpha_i$ (incluye la multiplicación del tiempo $\Delta t$ ) en el momento $t_i$ con $i =1,2,3$ y $S_{t_i-}$ significa el precio antes del pago de dividendos, tenemos $$S_{t_i} = (1 - \alpha_i)S_{t_i-}.$$ Y utilizamos el factor de que el precio descontado de las acciones antes del pago de dividendos debe ser martingala. Así que recibimos el dividendo $\alpha_3 S_{t_3-}$ en el momento $t_3,$ el valor esperado en el momento $t_2$ bajo una medida neutral de riesgo debe ser $$E[e^{-r(t_3-t_2)}\alpha_3 S_{t_3-}] = \alpha_3 S_{t_2}$$ $$= \alpha_3(1 - \alpha_2)S_{t_2-}.$$ De nuevo para descontar al tiempo $t_1,$ tenemos $$\alpha_3(1 - \alpha_2)(1 - \alpha_1)S_{t_1-}.$$ Por último, hemos descontado el valor en el tiempo $0$ del dividendo $t_3$ $$\alpha_3(1 - \alpha_2)(1 - \alpha_1)S_0$$ entonces el dividendo $t_2$ es $$\alpha_2(1 - \alpha_1)S_0,$$ entonces el dividendo $t_1$ es $$\alpha_1S_0.$$ Entonces el valor inicial menos el dividendo descontado debería ser $$S_0 - \alpha_3(1 - \alpha_2)(1 - \alpha_1)S_0 - \alpha_2(1 - \alpha_1)S_0 - \alpha_1S_0$$ $$=(1-\alpha_3)(1 - \alpha_2)(1 - \alpha_1)S_0.$$

Answer 1

Esta equivalencia sólo puede escribirse para los casos de dividendos proporcionales . Para la discreta efectivo Los dividendos de los dos modelos de difusión al contado son demasiado diferentes para que esa relación pueda escribirse de forma general (ya que el modelo de rendimiento de los dividendos garantiza precios futuros de las acciones estrictamente positivos, mientras que el uso de dividendos discretos en efectivo no lo hace).

Más concretamente, si tiene $N$ pagos de dividendos discretos y proporcionales, uniformemente espaciados, a lo largo de $[0,T[$ la div en el primer período hace que se pase de $S_0$ a $S_0(1-q\Delta t)$ con $\Delta t=T/N$ . Denotemos el valor puntual resultante por $S_{\Delta t}$ . El siguiente te hace pasar de $S_{\Delta t}$ a $S_{\Delta t}(1-q\Delta t)$ etc.

Al final del día se obtiene: $$S_{T=N\Delta t} = S_0(1-q\Delta t)^N = S_0(1-q\Delta t)^{T/\Delta t}$$ Ahora tomando el límite como $\Delta t \to 0$ sabiendo que $\lim_{x \to 0} \exp(-x) = 1-x$ se obtiene heurísticamente: $$\lim_{\Delta t \to 0} S_T = S_0 \exp(-q \Delta t)^{T/\Delta t} = S_0 \exp(-qT)$$

---

Editar

Para los dividendos proporcionales discretos (fecha de pago = fecha ex), en $\Bbb{Q}$

$$ dS_t = r S_t dt + \sigma S_t dW_t^\Bbb{Q} - \sum_i D(S_{t_i^-}) \delta(t-t_i) dt $$

$$ D(S_{t_i^-})=\alpha_i S_{t_i^-}, \alpha_i \in [0,1[ $$ Aplicando el lema de Itô para semimartingales con saltos e integrando desde $t=0$ a $t=T$ produce \begin{align*} \ln S_T - \ln S_0 &= \left(r - \frac{\sigma^2}{2} \right) T + \sigma W_T^{\Bbb{Q}} + \sum_{i : 0 < t_i \le T} \left[ \ln(S_{t_i}) - \ln(S_{t_i^-}) \right]\\ &= \left(r - \frac{\sigma^2}{2} \right) T + \sigma W_T^{\Bbb{Q}} + \sum_{i : 0 < t_i \le T} \left[ \ln \left( \frac{S_{t_i^-}-D(S_{t_i^-})}{S_{t_i^-}} \right) \right]\\ &= \left( r - \frac{\sigma^2}{2} \right) T + \sigma W_T^{\Bbb{Q}} + \sum_{i : 0 < t_i \le T} \ln(1-\alpha_i) \end{align*} por lo que \begin{align} S_T = S_0 \prod_{i : 0 < t_i \le T} (1-\alpha_i) \exp \left( r T\right) \mathcal{E}[\sigma W_T^{\Bbb{Q}}] \end{align} donde $\mathcal{E}[X_t]$ cifra la exponencial estocástica del proceso $X_t$ es decir $\mathcal{E}[X_t] = \exp(X_t - 1/2[X,X]_t)$ Por lo tanto $$ F(0,T) = S_0 \prod_{i : 0 < t_i \le T} (1-\alpha_i) e^{r T} \tag{A} $$

Del mismo modo, si se asume una rentabilidad por dividendo continua: $$ dS_t = (r - q) S_t dt + \sigma S_t dW_t^\Bbb{Q} $$ se habría obtenido el conocido resultado $$ S_T = S_0 e^{(r-q)T} \mathcal{E}\left[ \sigma W_T^\Bbb{Q} \right]$$ por lo que $$ F(0,T) = S_0 e^{(r-q)T} \tag{B} $$