¿Cómo anualizar el Sharpe Ratio?

Question

Si conozco los rendimientos diarios de mi cartera, necesito multiplicar el Índice de Sharpe por $\sqrt{252}$ para tenerlo anualizado. No entiendo por qué es así.

Answer 1

De hecho, ese no siempre es el caso. Aquí hay un gran artículo de Andy Lo, "The Statistics of Sharpe Ratios". Él muestra cómo los ratios de Sharpe mensuales "no pueden ser anualizados multiplicando por $\sqrt{12}$ excepto bajo circunstancias muy especiales". Espero que esto se aplique también a la anualización de los ratios de Sharpe diarios.

Answer 2

La respuesta de @RYogi es definitivamente mucho más completa, pero si estás buscando cuáles son las suposiciones detrás de la regla general, son:

1. Los rendimientos de la cartera son un proceso de Wiener, en el que la volatilidad escala con la raíz cuadrada del tiempo.
2. Hay 252 días de trading en un año.

Como señala el documento de Lo, la suposición #1 es algo sospechosa.

Answer 3

Es común ver que varias métricas financieras escalan con la raíz cuadrada del tiempo. Esto se debe al proceso que impulsa los retornos lognormales en los precios de las acciones, que es el proceso Ito $dS = \mu Sdt + \sigma SdZ$.

El proceso de Wiener asume que cada dt es IID y tiene un $\mu$ constante y un $\sigma^2$ constante, por lo tanto, el mismo valor esperado y varianza en cada incremento. Debido a que: $$\operatorname{Var}\left(\ln\left(\frac{S(T)}{S(T_0)} \right) \right) = \operatorname{Var}\left(\ln\left(\frac{S(t_n)}{S(t_{n-1})} \right) \right) + \operatorname{Var}\left(\ln\left(\frac{S(t_{n-1})}{S(t_{n-2})} \right) \right) + \dots + \operatorname{Var}\left(\ln\left(\frac{S(t_1)}{S(t_0)} \right) \right)$$ $$ = ns^2 = s^2\frac{(T-T_0)}{dt}$$ $$\text{donde } n = \frac{(T-T_0)}{dt} $$ $$\text{donde } S(T_{n})=S_{0}e^{(u-\frac{1}{2}\sigma^2)T_n+\sigma W(T_n)}$$ Se sigue que $s^2(T-T_0)$. Debido a que la varianza debe ser finita, en el $\lim_{dt \rightarrow 0}$, la varianza debe ser proporcional a $dt$. Dado que $s^2$ es 1 para un proceso distribuido de forma lognormal, la varianza es $(T-T_0)$, por lo tanto, la desviación estándar es $\sqrt{T-T_0}$ o $\sqrt{T}$.

La razón por la que ves que las métricas financieras se escalan a la raíz cuadrada del tiempo es porque las métricas generalmente se calculan utilizando los retornos de las acciones, que se asume que están distribuidos de forma lognormal. Si está correcto o incorrecto realmente tiene que ver con tu suposición de cómo los retornos de las acciones están realmente distribuidos.

Answer 4

Aquí está la idea de dónde viene eso:

Para anualizar el rendimiento diario, se multiplica por 252 (el número de observaciones en un año).

Para anualizar la varianza, se multiplica por 252 porque se está asumiendo que los rendimientos no están correlacionados entre sí y el rendimiento logarítmico en un año es la suma de los rendimientos logarítmicos diarios.

Entonces, la anualización de la proporción es 252 / sqrt(252) = sqrt(252).

Answer 5

Las unidades del ratio de Sharpe son 'por raíz cuadrada del tiempo', es decir, si mides la media y la desviación estándar en días de negociación, las unidades son 'por raíz cuadrada (día de negociación)'. Debería ser obvio entonces, cómo reexpresar el ratio de Sharpe en diferentes unidades. Por ejemplo, para obtener 'por raíz mes', multiplica por $\sqrt{253/12}$.

La razón por la que Sharpe tiene estas unidades es porque el término de deriva tiene unidades de 'retorno por tiempo', mientras que la varianza es 'retornos al cuadrado por tiempo'.