Transformación de las funciones de utilidad esperada

Question

Estoy utilizando el siguiente teorema:

Para entender mejor cómo puedo transformar las funciones de utilidad esperada.

Un ejemplo con el que trabajar:

Quiero demostrar que las preferencias representadas aquí satisfacen los tres axiomas [A1,A2,A3] que caracterizan la utilidad esperada. [orden, continuidad e independencia]

Dónde $$E_{\pi} \mu = \sum_{z \in Z} u(z)\pi(z) $$

Lo que quiero hacer es transformar el E.U.F. dado s.t.:

$$U(\pi) = h + k....$$ $$U(\pi)= k...$$

Entonces, multiplicando por $\frac{1}{k}$ y utilizando $ln$

$$U(\pi) = \sum_{i=1}^n \pi_i ln(\alpha_i)$$

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Tal vez sea ésta la solución. ¿Algún comentario?

Esto no es una tarea. Estoy estudiando porque no entiendo bien esto

Answer 1

Sí. Lo que está haciendo es una solución.

La idea clave aquí es que las relaciones binarias son necesariamente relaciones ordinales, y no contienen información cardinal. Tomar transformaciones monótonas (estrictamente positivas) de las representaciones preserva la estructura de preferencias. Así que, sí, ha demostrado $U(\cdot)$ (del ejemplo) está relacionada mediante una transformación monótona con una función lineal con el índice $ln(\alpha)$ y por lo tanto, por el teorema de von Neumann Morgenstern, satisface los axiomas de la UE.

Ahora bien, a menudo hay un punto de confusión aquí, debido al énfasis en la singularidad con respecto a la representación de la UE. Pero la representación de la UE no es la única representación, es la única lineal representación. Aunque esto está claramente delineado en el teorema, creo que en la mente de muchas personas se confunde con la unicidad genérica.

En resumen, eligiendo una forma funcional particular (o normalización) es posible actuar como si las preferencias tienen una relación cardinal. Pero, esto es sólo una interpretación, y no algo inherente a una relación binaria, incluso una que satisfaga el axioma de independencia.

Answer 2

Yo diría que cualquier transformación monótona puede aplicarse a las funciones de utilidad, ya que conservan las características A1-A3; por ejemplo, véase https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function .