Calcular el equilibrio de Nash en el juego del votante medio

Question

Consideremos un modelo espacial en el que dos candidatos A y B compiten por el cargo. El espacio político va de -1 a 1 y cada candidato puede adoptar una de las tres posiciones, -1, 0 y 1 (de modo que sólo tienen tres estrategias puras). Los votantes votan al candidato más cercano a sus puntos ideales, pero los candidatos desconocen la ubicación del votante medio: el votante medio se sitúa en -1 o 1 con probabilidad s < 1/2 y se sitúa en 0 con probabilidad 1 - 2s. Supongamos que el candidato A es ligeramente más ventajoso que B: A se impone si A y B son equidistantes del votante mediano, pero B gana si está más cerca del votante mediano. Ganar da una recompensa de 1 y perder 0. Los candidatos eligen simultáneamente una posición. Responda a las siguientes preguntas.

1. Dibuje una matriz de resultados de 3 por 3 y muestre si hay algún equilibrio de Nash de estrategia pura.

Mi intento: $\begin{array}{r|ccc} A\backslash B & -1 & 0 & 1\\ \hline -1 & 1, 0 & s, 1-2s+s & 1-2s+s, s\\ 0 & 1-2s+s, s & 1, 0 & 1-2s+s, s\\ 1 & 1-2s+s, s & s, 1-2s+s & 1, 0 \end{array} $

Esto se simplifica a $\begin{array}{r|ccc} A\backslash B & -1 & 0 & 1\\ \hline -1 & 1, 0 & s, 1-s & 1-s, s\\ 0 & 1-s, s & 1, 0 & 1-s, s\\ 1 & 1-s, s & s, 1-s & 1, 0 \end{array} $

• Computarización del PSNE:
• Si A elige -1 -- si s>1/2, B elige 1 -- si s=1/2, B elige 1 o 0 -- si s<1/2, B elige 0
• Si A elige 0 -- B elige -1 o 1
• Si A elige 1 -- si s>1/2, B elige -1 -- si s=1/2, B elige -1 o 0 -- si s<1/2, B elige 0
• Si B elige -1 -- A elige -1
• Si B elige 0 -- A elige 0
• Si B elige 1 -- A elige 1

No hay PSNE.

¿O puedo decir lo siguiente? Dado que la RB de cualquiera de los dos jugadores debe dar lugar a una estrategia que les ayude a ganar el votante medio, no puede ocurrir que ambos jugadores ganen el votante medio. Por lo tanto, no existe PSNE.

2. Caracterice un MSNE si existe. Sugerencia: sea la estrategia mixta de A para elegir -1, 0 y 1 p, q y 1-p-q, respectivamente, y la estrategia mixta de B x, y y 1-x-y, respectivamente.

Para que B sea indiferente, EU(-1)=EU(0)=EU(1). Thus, sq+s(1-p-q)=(1-s)p+(1-s)(1-p-q)=sp+sq

Solución: p=s/(2-s), q=(3s-2)/(s-2)

Para que A sea indiferente, EU(-1)=EU(0)=EU(1). Thus, x+sy+(1-s)(1-x-y)=(1-s)x+y+(1-s)(1-x-y)=(1-s)x+sy+(1-x-y)

Soluciones: s=o, y=0, o x=(s-1)/(s-2), y =s/(2-s)

No sé cómo traducir esto a MSNE. ¿Puede decirme también si lo he entendido todo bien hasta ahora?

Gracias de antemano.

Answer 1

Los cálculos parecen correctos.

Para el PSNE, yo diría simplemente que como no hay BRs mutuas en la estrategia pura, no hay PSNE, y lo dejaría así.

En el MSNE, A jugaría $-1$ con probabilidad $\frac{1-s}{2-s}$ , $0$ con $\frac{s}{2-s}$ y $1$ con $\frac{1-s}{2-s}$ B jugaría $-1$ con $\frac{s}{2-s}$ , $0$ con $\frac{2-3s}{2-s}$ y $1$ con $\frac{s}{2-s}$ .

Answer 2

Correcciones

s no puede ser mayor que 1/2.

Si A elige 0 -- si s>0, B elige -1 o 1 -- pero si s=0, B escoge -1 o 0 o 1. 0 sólo está débilmente dominado.

Si B elige -1 -- si s>0, A elige -1 -- pero si s=0, A escoge -1 o 0 o 1. 0 y 1 sólo están débilmente dominados.

Si B elige 0 -- A elige 0

Si B elige 1 -- si s>0, A elige 1 -- pero si s=0, A escoge -1 o 0 o 1. -1 y 0 sólo están débilmente dominados.

PSNE

si s=0 (0, -1) y (0, 0) y (0, 1) son equilibrios de Nash de estrategia pura. En caso contrario, no hay ninguno.

Estrategia mixta

B es indiferente cuando:

Una obra de teatro $-1$ o $1$ con probabilidad $-\frac{s}{s-2}=\frac{s}{2-s}$ (de 0 a 1/3), y $0$ con probabilidad $\frac{3s-2}{s-2}$ (de 1 a 1/3)

A es indiferente cuando:

Obras B $-1$ o $1$ con probabilidad $\frac{s-1}{s-2}$ (de 1/2 a 1/3) y $0$ con probabilidad $-\frac{s}{s-2}$ (de 0 a 1/3)