Valoración de las opciones europeas sobre dos activos subyacentes

Question

¿Alguien puede dar la solución al siguiente problema?

Supongamos que tenemos dos activos, cada uno de los cuales sigue un proceso GBM, y donde $dW_S$ y $dW_X$ están correlacionados $(dW_SdW_X=\rho)$ .

$dS=\mu_s S \hspace{0.5mm}dt +\sigma_s S \hspace{0.5mm}dW_s $

$dX=\mu_X X \hspace{0.5mm}dt +\sigma_X X \hspace{0.5mm}dW_X $

Determinar el precio de una opción de venta europea $V$ con pagos que dependen del valor terminal de ambos activos descritos por

$ V_T=X_T\max\{K-S_T,0\}$

Answer 1

Su exposición del problema no es muy detallada. ¿Es $\mu_{S/X}$ constante? ¿Y los tipos de interés? En el problema clásico de la opción de cambio, en el que el resultado es $(X_T - S_T)^+$ En realidad no importan, ya que todo el riesgo está relacionado con $S$ y $X$ En este caso, no se trata de dinero en efectivo (hasta la venta de su cartera de réplicas al vencimiento para pagar inmediatamente la cantidad solicitada, lo que no implica tipos de interés); aquí, sin la asunción específica sí tiene riesgo de tipos de interés, y su mercado es incompleto en general, lo que implica tener que elige una medida neutral de riesgo basada en alguna parametrización. Intentaré ofrecerle una metodología general para este tipo de problemas de fijación de precios, explicando qué suposición hago en cada paso. Así podrá adaptar el razonamiento a su problema específico.

Lo primero que hay que destacar es que desde $X$ y $S$ son activos sus valores descontados deben ser martingalas bajo cualquier medida neutral de riesgo $\mathbb{Q}$ por el primer Teorema Fundamental de la Valoración de Activos, si no pagan dividendos. Si lo hacen, basta con normalizar por algún factor de dividendos $D_t^{S/X}$ que representa la reinversión de los dividendos, por ejemplo $\exp{-\int_0^t{q_s^{S/X} \mathrm{d}s}}$ si el flujo de dividendos es continuo a un ritmo $q^{S/X}$ .

Supongamos por ahora que $D_T \equiv 1$ es decir, que $S$ y $X$ son no pagan dividendos . Por lo tanto, podemos escribir : \begin{align} & dX_t = r_t X_t dt + \sigma_X X_t dW_t^X \\ & dS_t = r_t S_t dt + \sigma_S S_t dW_t^S = r_t S_t dt + \sigma_S S_t \left(\rho \, dW_t^X + \sqrt{1 - \rho^2} dW_t^\perp\right) \end{align} La deriva tiene para ser $r_t$ por el FTAP I. Nótese que esta dinámica induce que tanto $S$ y $X$ son positivos en todo momento.

Elección de una medida específica de riesgo neutro $\mathbb{Q}$ el precio correspondiente a su derivado es $$ V_0 = \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left[e^{-\int_0^T{r_t\mathrm{d}t}} X_T \left(K - S_T\right)^+\right] $$ Ahora, observa lo siguiente: como $X e^{-\int_0^\cdot{r_t\mathrm{d}t}}$ es una martingala bajo $\mathbb{Q}$ , $\frac{X_T}{X_0} e^{-\int_0^T{r_t\mathrm{d}t}}$ es una variable aleatoria positiva con valor esperado 1. Por lo tanto, puede definir una nueva probabilidad $\mathbb{Q}^X$ equivalente a $\mathbb{Q}$ por $$ \frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}^X}{\mathrm{d}\mathbb{Q}} := \frac{X_T}{X_0} e^{-\int_0^T{r_t\mathrm{d}t}} $$

Esto corresponde al cambio de numéraire del activo sin riesgo $e^{\int_0^\cdot{r_t \mathrm{d}t}}$ a $X$ de ahí nuestra notación. Tenemos entonces \begin{align} V_0 & = X_0 \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left[e^{-\int_0^T{r_t\mathrm{d}t}} \frac{X_T}{X_0} \left(K - S_T\right)^+\right] \\ & = X_0 \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^X} \left[\left(K - S_T\right)^+\right] \end{align} Ahora, todo lo que hay que hacer es determinar la distribución de $S_T$ en $\mathbb{Q}^X$ . Para ello, hay que calcular el cambio de deriva inducido por el cambio de probabilidad. El teorema de Girsanov permite hacerlo. Utilizando el lema de Ito (o, lo que es lo mismo, resolviendo la SDE para $X$ que he dado más arriba), tienes que $$ X_T = X_0 e^{\int_0^T{\left(r_t - \frac{\sigma_X^2}{2}\right)\mathrm{d}t} + \int_0^T{\sigma_X\mathrm{d}W_t^X}} $$ por lo que $$ e^{-\int_0^T{r_t\mathrm{d}t}} \frac{X_T}{X_0} = e^{- \frac{\sigma_X^2}{2}T + \sigma_X W_T^X} $$ Por el teorema de Girsanov, $$ \widehat{W}_t^X := W_t^X - \sigma_X t $$ es un movimiento browniano bajo $\mathbb{Q}^X$ . La dinámica bajo $\mathbb{Q}^X$ son por lo tanto \begin{align} dX_t & = \left(r_t + \sigma_X^2\right) X_t dt + \sigma_X X_t d\widehat{W}_t^X \\ dS_t & = r_t S_t dt + \sigma_S S_t \left(\rho dW_t^X + \sqrt{1 - \rho^2} d W_t^\perp\right) \\ & = \left(r_t + \rho \sigma_X \sigma_S\right) S_t dt + \sigma_S S_t \left(\rho d\widehat{W}_t^X + \sqrt{1 - \rho^2} d W_t^\perp\right) \\ & = \left(r_t + \rho \sigma_X \sigma_S\right) S_t dt + \sigma_S S_t d\widehat{W}_t^S \end{align} Porque $W^\perp$ es independiente de $W^X$ También es un $\mathbb{Q}^X$ -Movimiento browniano independiente de $\widehat{W}^S$ Por lo tanto $d \langle \widehat{W}^X, \widehat{W}^S\rangle_t = \rho \, dt$ .

Asumiendo que las tasas son deterministas tienes dos fuentes de aleatoriedad ( $W^S$ y $W^X$ ) y dos activos de cobertura: el mercado es completo, y el precio de réplica es una expectativa bajo la única medida neutral de riesgo $\mathbb{Q}$ o bajo la medida martingala equivalente $\mathbb{Q}^X$ . Observando que la dinámica que acabamos de derivar induce una distribución lognormal para $S_T$ en $\mathbb{Q}^X$ se puede utilizar una fórmula de Black generalizada (es decir $\mathbb{E} \left[\left(K - X\right)^+\right]$ con $X$ distribuido de forma anormal).

AHORA Si $D_T^{X/S} \not \equiv 1$ es decir $\mu^{X/S} \neq r_t$ El problema puede volverse rápidamente más complejo; en particular, al tener aleatoriedad en los dividendos, se tiene un riesgo de dividendos y el mercado no es completo. Una suposición que permite resolver el problema de forma bastante sencilla es que los flujos de dividendos son continuos a tasas deterministas $q^{S/X}$ . Entonces, usted tiene necesariamente $\mu_X = r_t - q_t^X$ y $\mu_S = r_t - q_t^S$ en $\mathbb{Q}$ y la ampliación es sencilla.