¿Cómo diferirán las demandas marshalliana y hicksiana de un bien inferior suponiendo que el precio sube? ¿Qué ocurre también si la demanda no se ve afectada por los cambios en la renta?
Estoy asumiendo que caerá más rápido por las demandas hicksianas debido a un mayor poder adquisitivo real. En el segundo caso, creo que será igual para ambos.
Pero no estoy seguro de mi solución.
Dejemos que $p$ sea el vector de precios, y que $m$ sean los ingresos y que $u$ ser útil.
Dejemos que $e(p,u)$ sea la función de gasto que da el gasto mínimo necesario para obtener el nivel de utilidad $u$ y que $v(p,m)$ sea la función de utilidad indirecta, que da la máxima utilidad que se puede obtener ad precios $p$ dado el ingreso $m$ .
La exigencia hicksiana del bien $i$ , $h_i(p,u)$ y la demanda marshalliana del bien $i$ , $x_i(p,m)$ están relacionados de la siguiente manera: $$ h_i(p,u) = x_i(p,e(p,u)) \text{ and } h_i(p,v(p,m)) = x_i(p,m) $$ Tome la primera identidad y tome la derivada con respecto a $p_i$ para conseguirlo: $$ \frac{\partial h_i(p,u)}{\partial p_i} = \frac{\partial x_i(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial x_i(p, e(p,u))}{\partial m} \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} $$ A continuación, la demanda hicksiana es igual a la derivada de la función de gasto $h_i(p,u) = \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i}$ Así que..: $$ \begin{align*} \frac{\partial h_i(p,u)}{\partial p_i} &= \frac{\partial x_i(p,m)}{\partial p_i} + \frac{\partial x_i(p,m)}{\partial m} h_i(p,u),\\ &=\frac{\partial x_i(p,m)}{\partial p_i} + x_i(p,m) \frac{\partial x_i(p,m)}{\partial m} \end{align*} $$ Esta es la ecuación de Slutsky.
Si el bien es inferior, el segundo término es negativo. Por tanto, la derivada de la demanda hicksiana es menor (más negativa) que la de la demanda marshalliana: $$ \frac{\partial h_i(p,u)}{\partial p_i} < \frac{\partial x_i(p,m)}{\partial p_i} $$
Así que, en efecto, si $p_i$ aumenta y el bien es inferior, la demanda hicksiana disminuirá más (la demanda hicksiana es más pronunciada).
Intuitivo: si el precio aumenta, la demanda hicksiana bajará debido al efecto de sustitución. Sin embargo, también hay una "disminución de la renta" (debido al efecto renta). Para los bienes inferiores, este efecto renta, aumentará la demanda del bien. Por lo tanto, la demanda marshalliana disminuirá menos que la demanda hicksiana.
Si el efecto de la renta es nulo, los efectos de la demanda marshalliana y hicksiana son iguales, ya que el segundo término desaparece: $$ \frac{\partial h_i(p,u)}{\partial p_i} = \frac{\partial x_i(p,m)}{\partial p_i} $$
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