Fórmula de inversión de Gil-Palaez en el mundo de Black Scholes

Question

Estoy tratando de calcular numéricamente el precio de una llamada simple a través de la Transformada de Fourier, aplicando la fórmula de Gil-Pelaez. Más concretamente, tenemos que

\begin{equation} C(K) = S_0 \Pi_1 - K e^{-r T} \Pi_2, \end{equation}

donde

\begin{eqnarray} \Pi_1 & = & \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \mathfrak{Re} \left\{ \frac{\phi(u-i) e^{-\mathrm{i} u \ln(K)}}{\phi(-\mathrm{i}) \mathrm{i}u} \right\} \mathrm{d}u,\\ \Pi_2 & = & \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \mathfrak{Re} \left\{ \frac{\phi(u) e^{-\mathrm{i} u \ln (K)}}{\mathrm{i} u} \right\} \mathrm{d}u \end{eqnarray}

y donde

\begin{equation} \phi(u) = \exp \left\{ \mathrm{i} \left( \ln \left( S_0 \right) + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T \right) u - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2 T \right\}. \end{equation}

Aunque hago el álgebra, parece que las integradas que obtengo dentro de $\Pi_1$ y $\Pi_2$ son iguales, algo que es obviamente falso. Aunque sé que es una pregunta estúpida, ¿podríais ayudarme a saber cuáles son las partes reales de las integradas? Se agradece mucho tu ayuda ya que he intentado calcularlas varias veces.

Answer 1

Ambos enteros son diferentes. Uno incluye $\phi(u-i)$ y el otro simplemente $\phi(u)$ . Como es de esperar, en el modelo Black-Scholes, $\Pi_1$ y $\Pi_2$ se derrumba a $\Phi(d_1)$ y $\Phi(d_2)$ .

Tenga en cuenta, en primer lugar, que si $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ entonces \begin{align*} \phi_X(u) &= e^{iu\mu-\frac{1}{2}\sigma^2u^2}, \\ \phi_X(u-1) &=\phi_X(u) e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2}e^{iu\sigma^2},\\ \phi_X(-i) &= e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2}, \\ \frac{\phi_X(u-i)}{\phi_X(-i)} &= \phi_{\tilde{X}}(u), \end{align*} donde $\tilde{X}\sim N(\mu+\sigma^2,\sigma^2)$ . Así, \begin{align*} \Pi_1 &= \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_0^\infty \Re\left(\frac{e^{-i\ln(K)u}\varphi_{\tilde{\ln(S_T})}(u)}{iu}\right)\mathrm{d}u \\ &= 1-F_{\tilde{\ln(S_T)}}\big(\ln(K)\big) \\ &= 1-\Phi\left( \frac{\ln(K)-\left(\ln(S_0)+\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T \right)- \sigma^2T}{\sigma\sqrt{T}}\right) \\ &= 1-\Phi\left( -\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)+\left(r-q+\frac{1}{2}\sigma^2\right)T }{\sigma\sqrt{T}}\right) \\ &=1-\Phi(-d_1) \\ &=\Phi(d_1). \end{align*}

La segunda línea aplica la fórmula de Gil-Pelaez, que dice lo siguiente $$ F_X(x) = \frac{1}{2}-\frac{1}{\pi} \int_0^\infty \Re\left(\frac{e^{-iux}\phi_X(u)}{iu}\right)\mathrm{d}u.$$

El caso de $\Pi_2$ es el mismo y se puede recuperar $\Phi(d_2)$ .