¿Delta de la opción Bachelier = probabilidad de ejercicio?

Question

Según el modelo Black-Scholes, el delta de una opción de compra se interpreta a veces como la probabilidad de que la opción termine en el dinero.

Si asumo que el subyacente sigue una distribución normal (modelo de Bachelier), ¿se mantiene la misma aproximación para el delta de Bachelier?

Answer 1

En primer lugar, su afirmación de que el delta de una opción de compra según el modelo Black-Scholes es igual a la probabilidad de ejercicio no es cierta. Se trata de un error muy común; véase, por ejemplo, el artículo esta pregunta .

Ahora, con respecto a su pregunta. Supongamos que el precio a futuro $F$ para la madurez $T$ bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ sigue

\begin{equation} \mathrm{d}F_t = \sigma \mathrm{d}W_t \end{equation}

para $t \in [0, T]$ . Entonces

\begin{eqnarray} C_0 & = & e^{-r T} \mathbb{E}_{\mathbb{Q}} \left[ \left( F_T - K \right)^+ \right]\\ & = & e^{-r T} \int_{-d}^\infty \left( F_0 + \sigma \sqrt{T} x - K \right) \phi(x) \mathrm{d}x\\ & = & e^{-r T} \left\{ \left( F_0 - K \right) \mathcal{N}(d) + \sigma \sqrt{T} \mathcal{N}'(d) \right\}, \end{eqnarray}

donde

\begin{equation} d = \frac{F_0 - K}{\sigma \sqrt{T}}. \end{equation}

Diferenciar cuidadosamente los rendimientos

\begin{eqnarray} \frac{\partial C_0}{\partial F_0} & = & e^{-r T} \mathcal{N}(d), \end{eqnarray}

donde utilizamos que

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial F_0} \sigma \sqrt{T} \mathcal{N}'(d) = -d \mathcal{N}'(d). \end{equation}

La probabilidad de ejercicio es

\begin{equation} \mathbb{Q} \left\{ F_T > K \right\} = \int_{-d}^\infty \phi(x) \mathrm{d}x = \mathcal{N}(d). \end{equation}

Por tanto, salvo el descuento, las dos expresiones son iguales en el caso del modelo de Bachelier.

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Edición: El precio de un activo al contado $S$ no sigue un movimiento browniano aritmético bajo $\mathbb{Q}$ . Obtenemos el delta de una opción de compra europea sobre ella como

\begin{equation} \frac{\partial C_0}{\partial S_0} = \frac{\partial C_0}{\partial F_0} \frac{\partial F_0}{\partial S_0} = \mathcal{N}(d). \end{equation}

La probabilidad de ejercicio sigue siendo

\begin{equation} \mathbb{Q} \left\{ S_T > K \right\} = \mathcal{N}(d) \end{equation}

desde $F_T = S_T$ en la madurez.