Determinemos primero los conjuntos de acciones de los jugadores.
Una acción del jugador 1 es simplemente una oferta $x_1 \in \mathbb{R}_+$ .
Una acción del jugador 2 es una función: $f_2: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ que determina para cada acción $x_1$ del jugador $1$ una acción $x_2 = f_2(x_1) \in \mathbb{R}_+$ . Denotemos por $F_2$ el conjunto de todas las acciones del jugador 2.
Veamos ahora los beneficios: $$ \begin{align*} u_1(x_1, f_2) &= \left\{\begin{array}{ll} 500 - x_1 &\text{ if } x_1 > f_2(x_1)\\ \frac{500 - x_1}{2} &\text{ if } x_1 = f_2(x_1),\\ 0 &\text{ if } x_1 < f_2(x_1)\end{array}\right.\\ u_2(x_1, f_2) &= \left\{\begin{array}{ll} 500 - f_2(x_1) &\text{ if } f_2(x_1) > x_1\\ \frac{500 - f_2(x_1)}{2} &\text{ if } x_1 = f_2(x_1),\\ 0 &\text{ if } f_2(x_1) < x_1 \end{array}\right. \end{align*} $$
Un perfil estratégico $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ es un Equilibrio de Nash si para todos los demás $(x_1, f_2)$ $$ u_1(x_1^\ast, f_2^\ast) \ge u_1(x_1, f_2^\ast),\\ u_2(x_1^\ast, f_2^\ast) \ge u_1(x_1^\ast, f_2). $$
Reclamación 1: Si $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ es un equilibrio de Nash y si $x_1^\ast < 500$ entonces $f_2^\ast(x_1^\ast) \in (x_1^\ast, 500)$ .
prueba : Supongamos que no, entonces $f_2^\ast(x_1^\ast) \le x_1^\ast$ o $f_2^\ast(x_1^\ast) \ge 500$ . Observe que $u_2(x_1^\ast, f_2^\ast) \le 0$ . Ahora toma la estrategia $f_2$ donde $f_2(x_1) = f_2^\ast(x_1)$ para todos $x_1 \ne x_1^\ast$ y $f_2(x_1^\ast) = (500 +2 x_1^\ast)/3 > x_1^\ast$ . Entonces: $$ > u_2(x_1^\ast, f_2) = 500 - \frac{500 + 2 x_1}{3} > \frac{500 - x_1^\ast}{2} \ge u_2(x_1^\ast, f_2^\ast), > $$ Contradiciendo la definición de un equilibrio de Nash.
Reclamación 2: Si $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ es un equilibrio de Nash y si $x_1^\ast = 500$ entonces $f_2^\ast(x_1^\ast) \le 500$ .
prueba: Para llegar a una contradicción, supongamos que $f_2^\ast(x_1^\ast) > 500$ . Tome la estrategia $f_2$ donde $f_2(x_1) = 500$ para todos $x_1$ . Entonces: $$ > u_2(x_1^\ast, f_2^\ast) = 500 - f_2^\ast(x_1^\ast) < 0 = u_2(x_1^\ast, f_2) > $$ Esto contradice la definición de un equilibrio de Nash.
Reclamación 3: Si $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ es un equilibrio de Nash y si $x_1^\ast > 500$ entonces $f_2^\ast(x_1^\ast) < x_1^\ast$ .
prueba: Para llegar a una contradicción, supongamos que $f_2^\ast(x_1^\ast) \ge x_1^\ast$ . Tome la estrategia $f_2$ donde $f_2(x_1) = 500$ para todos $x_1$ . Entonces: $$ > u_2(x_1^\ast, f_2^\ast) \le \frac{500 - x_1^\ast}{2} < 0 = u_2(x_1^\ast, f_2). > $$ Esto contradice la definición de un equilibrio de Nash
Reclamación 4: Si $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ es un equilibrio de Nash, entonces $x_1^\ast \le 500$ .
prueba : Hacia una contradicción, si $x_1^\ast > 500$ entonces sabemos por la afirmación 3 que $f_2^\ast(x_1) < x_1^\ast$ . Como tal: $$ > u_1(x_1^\ast, f_2^\ast) = 500 - x_1^\ast < 0 \le u_1(500, f_2^\ast). > $$ Esto contradice la suposición de un equilibrio de Nash.
Reclamación 5: No hay equilibrio de Nash $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ con $x_1^\ast < 500$ .
prueba: Supongamos que $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ es un equilibrio de Nash con $x_1^\ast < 500$ . A partir de la afirmación 1, sabemos que $f_2^\ast \in (x_1^\ast, 500)$ . Tome la estrategia $f_2$ donde $f_2(x_1) = \frac{x_1 + f_2^\ast(x_1)}{2}$ . Observe que $f_2(x_1^\ast) > x_1^\ast$ . Entonces: $$ > u_2(x_1^\ast, f_2) = 500 - \frac{x_1 + f_2(x_1^\ast)}{2} > u_2(x_1^\ast, f_2^\ast), > $$ Esto contradice la suposición de un equilibrio de Nash
Reclamación 6: No hay equilibrio de Nash $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ con $x_1^\ast > 500$ .
prueba: Para llegar a una contradicción, supongamos que $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ es un equilibrio de Nash y $x_1^\ast > 500$ . A partir de la afirmación 3, sabemos que $f_2^\ast(x_1^\ast) < x_1^\ast$ . Entonces: $$ > u_1(x_1^\ast, f_2^\ast) = 500 - x_1^\ast < 0 = u_1(500, f_2^\ast). > $$ De nuevo una contradicción con la definición de un equilibrio de Nash
Los dos últimos teoremas muestran que si hay un equilibrio de Nash $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ entonces $x_1^\ast = 500$ .
Reclamación 7 si $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ es un equilibrio de Nash entonces para todo $x_1 < 500$ tenemos $f_2^\ast(x_1) > x_1$ .
prueba: Para llegar a una contradicción, dejemos que $x_1 < 500$ y $f_2^\ast(x_1) \le x_1$ entonces: $$ > u_1(x_1, f_2^\ast) \ge \frac{500 - x_1}{2} > 0 = u_1(x_1^\ast, f_2^\ast), > $$ Una contradicción con la definición de un equilibrio de Nash
Reclamación 8 Un perfil estratégico $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ es un equilibrio de Nash si y sólo si es de la siguiente forma: $$ x_1^\ast = 500,\\ f_2^\ast(x_1) = \left\{\begin{array}{ll} \in [0,500] &\text{ if } x_1 = 500,\\ \in (x_1, + \infty) &\text{ if } x_1 < 500,\\ \in \mathbb{R}_+ &\text{ if } x_1 > 500. \end{array}\right. $$
prueba: $(\rightarrow)$ Si $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ es un equilibrio de Nash, entonces $x_1^\ast = 500$ se deduce de las reivindicaciones 5 y 6. Siguiente, $f_2^\ast(500) = f_2^\ast(x_1^\ast) \in [0, 500]$ se deduce de la afirmación 2. $f_2(x_1) \in (x_1, + \infty)$ para $x_1 < 500$ se deduce de la reivindicación 7. Por último, que $f_2^\ast(x) \in \mathbb{R}_+$ para $x > 500$ es evidente.
$(\leftarrow)$ Supongamos que $x_1^\ast = 500$ y que $f_2^\ast$ satisface las restricciones de la demanda. Observe que: $u_1(x_1^\ast, f_2^\ast) = 0$ y $u_2(x_1^\ast, f_2^\ast) = 0$ .
Además, para todos los $f_2 \in F_2$ , $u_2(x_1^\ast, f_2) \le 0$ y para todos $x_1 \in \mathbb{R}_+$ tenemos $u_1(x_1) \le 0$ . Como tal: $$ > u_2(x_1^\ast, f_2) \le 0 = u_2(x_1^\ast, f_2^\ast),\\ > u_1(x_1, f_2^\ast) \le 0 = u_1(x_1^\ast, f_2^\ast). > $$ Así que $(x_1^\ast, f_2^\ast)$ es un equilibrio de Nash.
