Calibración de la DP mediante la fórmula de Bayes

Question

Al calcular las ECL de los préstamos según la NIIF 9, uno de los requisitos es que las estimaciones de PD tienen que ser puntuales ( $PD_{PIT}$ ) en lugar de a través del ciclo ( $PD_{TTC}$ El escenario es el siguiente: tenemos un modelo de calificación con calificaciones $X$ que van del 1 al 10, siendo el 10 el peor. La probabilidad estimada de impago $PD^{TTC}_i$ para cada uno de los cubos es la siguiente

| X  | PD TTC |
|----|--------|
| 1  | 0.62%  |
| 2  | 0.84%  |
| 3  | 0.93%  |
| 4  | 1.23%  |
| 5  | 2.10%  |
| 6  | 2.79%  |
| 7  | 3.80%  |
| 8  | 5.04%  |
| 9  | 7.01%  |
| 10 | 31.22% |

El conjunto $PD_{TTC}$ para toda la cartera es del 5,74%. Supongamos que estimamos que en el próximo año nuestro $PD_{PIT}$ será del 8%. Ahora queremos calibrar la probabilidad de cada calificación para reflejar el aumento de la tasa global de impago de la cartera. Me han dicho que esto se puede hacer utilizando la siguiente variante de la fórmula de Bayes:

$$PD^{PIT}_i = \frac{(1-PD_{TTC})*PD_{PIT}*PD^{TTC}_i}{PD_{TTC}*(1-PD_{PIT})*(1-PD^{TTC}_i)+(1-PD_{TTC})*PD_{PIT}*PD^{TTC}_i}$$ donde
$PD_{TTC}$ : Tasa global de impago de la cartera TTC
$PD_{PIT}$ : Tasa de incumplimiento de la EIF de la cartera global
$PD^{TTC}_i$ : Tasa de incumplimiento de TTC para el grado de calificación $i$

Por ejemplo, la PD calibrada para la calificación 1 sería $$PD^{PIT}_1 = \frac{(1-0.0574)*0.08*0.0062}{0.0574*(1-0.08)*(1-0.0062)+(1-0.0574)*(0.08)*0.0062}$$ $$PD^{PIT}_1 = 0.0088$$

La escala de valoración totalmente calibrada sería la siguiente

| X  | PD TTC | PD PIT |
|----|--------|--------|
| 1  | 0.62%  | 0.88%  |
| 2  | 0.84%  | 1.20%  |
| 3  | 0.93%  | 1.32%  |
| 4  | 1.23%  | 1.75%  |
| 5  | 2.10%  | 2.97%  |
| 6  | 2.79%  | 3.94%  |
| 7  | 3.80%  | 5.34%  |
| 8  | 5.04%  | 7.04%  |
| 9  | 7.01%  | 9.72%  |
| 10 | 31.22% | 39.33% |

¿Puede alguien explicarme el razonamiento que hay detrás de esta aplicación particular de la fórmula de Bayes y, si es posible, proporcionar una derivación que demuestre por qué es válida en este contexto?

Answer 1

Mi opinión es que la ecuación no tiene nada que ver con el teorema de Bayes, salvo que su forma parece derivada del teorema de Bayes.

Como se muestra a continuación, la ecuación puede derivarse utilizando el concepto de extraño que se utiliza en el ámbito de los modelos de probabilidad de impago.

Nota : Sólo me refiero a la forma en que la ecuación, creo, se obtuvo. El mérito de la ecuación o del enfoque está abierto al debate, pero ese es otro tema en conjunto.

Definiciones:

Dejemos que $\displaystyle \alpha $ sea el impar basado en la cartera global TTC PD y $\displaystyle \beta $ sea el impar basado en la PD de la cartera global prevista: \begin{equation*} \alpha \ =\ \frac{( 1\ -\ PD_{TTC})}{PD_{TTC}} \end{equation*} \begin{equation*} \beta \ =\ \frac{( 1\ -\ PD_{PIT})}{PD_{PIT}} \end{equation*} Además, que el TTC PD de calificación $\displaystyle i$ definirse como \begin{equation*} PD^{i}_{TTC} \ =\frac{B_{i}}{G_{i} +B_{i}} \ \end{equation*} donde $\displaystyle B_{i}$ y $\displaystyle G_{i}$ son el recuento malo y el recuento bueno en raitng $\displaystyle i$ respectivamente.

Concepto de Calibración:

El concepto de calibración consiste en ajustar las estimaciones de la probabilidad de impago para que, de media No se desviarán de la tendencia central a largo plazo de las tasas de impago observables.

Derivaciones:

Tras obtener la previsión $\displaystyle PD_{PIT}$ por cualquier medio, se puede calcular $\displaystyle \beta $ . Sin embargo, $\displaystyle PD_{PIT}$ y $\displaystyle PD_{TTC}$ deben estar relacionados de alguna manera. En eso consiste la calibración. La relación podría especificarse como \begin{equation*} \beta \times \alpha ^{-1} \end{equation*} Pero hay que tener en cuenta que la relación se puede escribir como

\begin{equation*} \left[\frac{( G_{PIT} /( G_{PIT} +B_{PIT})}{( B_{PIT} /( G_{PIT} +B_{PIT})}\right] \times \left[\frac{( B_{TTC} /( G_{TTC} +B_{TTC})}{( G_{TTC} /( G_{TTC} +B_{TTC})}\right] \end{equation*} \begin{equation*} =\ \left[\frac{G_{PIT}}{B_{PIT}}\right] \times \left[\frac{B_{TTC}}{G_{TTC}}\right] \end{equation*} donde $\displaystyle G_{k}$ y $\displaystyle B_{k}$ son la cuenta buena y la cuenta mala para $\displaystyle TTC$ y $\displaystyle PIT$ respectivamente. A largo plazo, $\displaystyle \beta \ \times \alpha ^{-1}$ se espera que sea 1 porque $\displaystyle G_{PIT}$ , $\displaystyle G_{TTC} ,$ $\displaystyle B_{PIT}$ y $\displaystyle B_{TTC}$ se anulan entre sí.

La relación se lleva entonces al nivel de clasificación granular escalando el recuento de bienes dentro de una clasificación particular con $\displaystyle \beta \ \times \alpha ^{-1}$ . La razón de elegir lo bueno sobre lo malo es que en algunas calificaciones, el recuento de lo malo puede ser cero. Suponiendo que la cartera esté bien diversificada, todas las calificaciones tendrán recuentos buenos distintos de cero.

Con lo anterior, la PIT PD calibrada para la calificación $\displaystyle i$ es:

\begin{equation*} Calibrated\ PD^{i}_{PIT} \ =\frac{B_{i}}{\beta \alpha ^{-1} G_{i} +B_{i}} \end{equation*} \begin{equation*} =\ \frac{Bi}{\left(\frac{1-PD_{PIT}}{PD_{PIT}}\right)\left(\frac{PD_{TTC}}{1-PD_{TTC}}\right) G_{i} +B_{i}} \end{equation*}

\begin{equation*} =\frac{( PD_{PIT}) \ (1-PD_{TTC} )\ Bi}{( 1-PD_{PIT}) \ ( PD_{TTC}) \ G_{i} +( PD_{PIT}) \ (1-PD_{TTC} )\ B_{i}} \end{equation*}

\begin{equation*} =\left[\frac{( PD_{PIT}) \ (1-PD_{TTC} )\ B_{i}}{( 1-PD_{PIT}) \ ( PD_{TTC}) \ G_{i} +( PD_{PIT}) \ (1-PD_{TTC} )\ B_{i}}\right]\left[\frac{1/( Gi+B_{i})}{1/( Gi+B_{i})}\right] \end{equation*}

\begin{equation*} =\left[\frac{( PD_{PIT}) \ (1-PD_{TTC} )\ PD^{i}_{TTC}}{( 1-PD_{PIT}) \ ( PD_{TTC}) \ \left( 1-PD^{i}_{TTC}\right) +( PD_{PIT}) \ (1-PD_{TTC} )\ PD^{i}_{TTC}}\right] \end{equation*}

Nota final:

¿Es correcto el planteamiento de la calibración? Mi opinión es que sólo podemos saberlo validándolo con datos reales.