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Calcular la integral de Ito t0W2sdWs desde el principio.

Estoy atascado en la primera ecuación de la solución donde el proceso de Wiener W2ti se expande de manera que la integral de Itô (en términos de sumas infinitas) se ve como el RHS de la primera ecuación de la solución. Puedo seguir el resto de lo que hicieron.

ingresar descripción de la imagen aquí

Si el problema fuera resolver t0WsdWs en su lugar, entonces creo que la parte análoga sería Wti=12(Wti+1+Wti)12(Wti+1Wti).

¿Cuál es el truco para comenzar esta solución?

6voto

ir7 Puntos 435

Una forma alternativa es usar la integral de Stratonovich. Por definición, tenemos

t0XsdWs=lim

Luego se puede demostrar que para funciones suaves determinísticas f y g tenemos:

\int_0^t g'(W_s)\, \circ dW_s = g(W_t)- g(W_0)\; \; (2) y \int_0^t f(W_s)\, \circ dW_s =\int_0^t f(W_s) \, dW_s + \frac{1}{2} \int_0^t f'(W_s) \, ds \; \; (3).

Usando (1), obtenemos:

\int_0^t W_s \, \circ dW_s = \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{W_{t_i} +W_{t_{i-1}}}{2}\left( W_{t_i} -W_{t_{i-1}}\right) = \frac{1}{2} \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \left( W_{t_i}^2 -W^2_{t_{i-1}}\right) = \frac{1}{2} W_t^2

Usando (2) con g(x) = 1/2x^2, g'(x) = x, obtenemos el mismo resultado \int_0^t W_s \, \circ dW_s = \frac{1}{2} W_t^2.

A partir de (3) con f(x)=x, f'(x) = 1, ahora podemos obtener la integral de Ito:

\int_0^t f(W_s) \, dW_s = \int_0^t f(W_s)\, \circ dW_s - \frac{1}{2} \int_0^t f'(W_s) \, ds = \frac{1}{2} W_t^2 - \frac{1}{2} t

Podemos repetir el procedimiento anterior para calcular:

\int_0^t W_s^2 \, dW_s

La conveniencia de la definición de la integral de Stratonovich se hace evidente nuevamente:

\frac{1}{3}W_t^3 \stackrel{(2)}{=}\int_0^t W_s^2 \, \circ dW_s \stackrel{(1)}{=} \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{W_{t_i}^2 +W_{t_{i-1}}^2}{2}\left( W_{t_i} -W_{t_{i-1}}\right) \stackrel{algebra}{=} \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n W_{t_{i-1}}^2 \left( W_{t_i} - W_{t_{i-1}}\right) + \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \left( W_{t_i}^2 - W_{t_{i-1}}^2\right) \left( W_{t_i} - W_{t_{i-1}}\right)

= \int_0^t W_s^2dW_s + \frac{1}{2} [W^2, W]_t = \int_0^t W_s^2dW_s + \int_0^t W_s ds

Obsérvese que el álgebra necesaria es mucho más agradable que la de @Kevin :):

\frac{1}{2}(a+b)(x-y) = b(x-y)+ \frac{1}{2} (a-b)(x-y)

y es la base del resultado fundamental detrás de (3):

\int_0^t X_s \, \circ dW_s = \int_0^t X_s dW_s + \frac{1}{2} [X,W]_t

0 votos

@BobJansen Hecho. Gracias.

5voto

drN Puntos 571

Integrando W_t

Consideremos la partición t_i=it/n con t_0=0 y t_n=t. Entonces, por definición, \begin{align*} \int_0^t W_s\text{d}W_s &= \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} W_{t_i}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_i}\right). \end{align*}

Puedes hacer el límite usando la identidad W_{t_i}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_i}\right)=\frac{1}{2}\left(W_{t_{i+1}}^2-W_{t_i}^2-\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_i}\right)^2\right).

Integrando W_t^2

Usando la misma partición que antes, \begin{align*} \int_0^t W_s^2\text{d}W_s &= \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} W_{t_i}^2\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_i}\right). \end{align*} Para este caso, puedes usar la identidad W_{t_i}^2\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_i}\right)=\frac{1}{3}(W_{t_{i+1}}^3-W_{t_i}^3)-W_{t_i}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2-\frac{1}{3}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^3. Lo demás es como de costumbre.

Lema de Itô

Obtienes el mismo resultado mucho más rápido si estableces f(t,x)=\frac{1}{3}x^3. Entonces, \begin{align} \text df(W_t) = W_t\text{d}t + W_t^2\text dW_t, \end{align} lo que implica \frac{1}{3}W_t^3=\int_0^tW_s\text{d}s+\int_0^tW_s^2\text{d}W_s.

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Parece que el truco es memorizar la identidad, que es lo que muestra la solución que pegué. Está bien si eso es todo lo que hay que hacer. Supongo que esperaba que hubiera un patrón simple repetido que lleva a esos 3 términos y podría ser utilizado para otros problemas similares.

2 votos

@Soran Sí, temo que tienes razón. No sé si hay una descomposición general de W_{t_i} que funcione para todas las integrales, \int_0^t f(s,W_s)\text{d}W_s. El truco es pensar en lo que quieres y necesitas. Por ejemplo, está claro que W_{t_{i+1}}^3-W_{t_i}^3 son necesarios para obtener el usual W_t^3 de la integral (sumas telescópicas). Luego, más o menos necesitas ver qué término queda y cómo puedes escribirlo en términos de incrementos brownianos. Es un poco tedioso. Sí. Por eso normalmente usamos el Lema de Ito (u otros trucos como Statanovich, como mostró @ir7). ¡Espero que eso ayude!

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¿Cómo sabemos que el término medio se convierte en {W_{t_k}*(t_{k+1}-t_k)}?

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