Una forma alternativa es usar la integral de Stratonovich. Por definición, tenemos
∫t0Xs∘dWs=lim
Luego se puede demostrar que para funciones suaves determinísticas f y g tenemos:
\int_0^t g'(W_s)\, \circ dW_s = g(W_t)- g(W_0)\; \; (2) y \int_0^t f(W_s)\, \circ dW_s =\int_0^t f(W_s) \, dW_s + \frac{1}{2} \int_0^t f'(W_s) \, ds \; \; (3).
Usando (1), obtenemos:
\int_0^t W_s \, \circ dW_s = \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{W_{t_i} +W_{t_{i-1}}}{2}\left( W_{t_i} -W_{t_{i-1}}\right) = \frac{1}{2} \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \left( W_{t_i}^2 -W^2_{t_{i-1}}\right) = \frac{1}{2} W_t^2
Usando (2) con g(x) = 1/2x^2, g'(x) = x, obtenemos el mismo resultado \int_0^t W_s \, \circ dW_s = \frac{1}{2} W_t^2.
A partir de (3) con f(x)=x, f'(x) = 1, ahora podemos obtener la integral de Ito:
\int_0^t f(W_s) \, dW_s = \int_0^t f(W_s)\, \circ dW_s - \frac{1}{2} \int_0^t f'(W_s) \, ds = \frac{1}{2} W_t^2 - \frac{1}{2} t
Podemos repetir el procedimiento anterior para calcular:
\int_0^t W_s^2 \, dW_s
La conveniencia de la definición de la integral de Stratonovich se hace evidente nuevamente:
\frac{1}{3}W_t^3 \stackrel{(2)}{=}\int_0^t W_s^2 \, \circ dW_s \stackrel{(1)}{=} \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{W_{t_i}^2 +W_{t_{i-1}}^2}{2}\left( W_{t_i} -W_{t_{i-1}}\right) \stackrel{algebra}{=} \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n W_{t_{i-1}}^2 \left( W_{t_i} - W_{t_{i-1}}\right) + \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \left( W_{t_i}^2 - W_{t_{i-1}}^2\right) \left( W_{t_i} - W_{t_{i-1}}\right)
= \int_0^t W_s^2dW_s + \frac{1}{2} [W^2, W]_t = \int_0^t W_s^2dW_s + \int_0^t W_s ds
Obsérvese que el álgebra necesaria es mucho más agradable que la de @Kevin :):
\frac{1}{2}(a+b)(x-y) = b(x-y)+ \frac{1}{2} (a-b)(x-y)
y es la base del resultado fundamental detrás de (3):
\int_0^t X_s \, \circ dW_s = \int_0^t X_s dW_s + \frac{1}{2} [X,W]_t